تبديل أويلر من النوع الثاني

---

تبديل أويلر من النوع الأول (للـ a>0) – المراجعة

في المنشور السابق:

تبديل أويلر من النوع الأول

تعاملنا مع تكاملات من النوع:

,

حيث a>0.

قمنا أيضًا بحل تكامل نموذجي يفي بهذا الشرط، أي

ماذا لو كان في ثلاثية الحدود سالبًا (حالة a=0 يمكن تجاهلها لأنه لن يكون لدينا ثلاثية حدود مربعة وسنقوم بحل التكامل باستخدام تبديل أبسط من تبديل أويلر) ؟

في هذه الحالة، يمكن أن يساعدنا (أو لا يساعدنا…) النوع الثاني من تبديل أويلر:

تبديل أويلر من النوع الثاني (للـ c>0)

لدينا تكامل من النوع:

,

حيث c>0، نستخدم التبديل من النوع:

,

نرفع كلا الجانبين إلى المربع، حيث تتبسط المكونات مع وعلينا أن نقسم كلا الجانبين على للوصول إلى علاقة خطية، من خلالها نستطيع تحديد بالتسلسل:

نضع هذا كله في التكامل:

وسنصل مجددًا إلى تكامل نسبي، الذي – كما أكرر – عادةً ما يكون شاقًا.

لنبدأ بالمثال.

مثال

في ثلاثية الحدود تم تغيير ترتيب المكونات قليلاً، ولكن من الواضح أن . مما يعني أن ليس أكبر من (لذلك لن نستخدم النوع الأول من تبديل أويلر)، ولكن c>0 (لذلك سنستخدم النوع الثاني).

نقوم بالتبديل:

نرفع كلا الجانبين إلى المربع:

المكون 2 يتبسط (وهذا ما يجب أن يحدث):

والآن نقسم كلا الجانبين على x:

ثم نحسب x:

قمنا بحساب x باستخدام المتغير t. الآن نحسب . في البداية لدينا التبديل:

قد تم حسابه، لذا فقط نضعه:

نحتاج الآن فقط لحساب . نحسبه بأخذ المشتقة من :

لقد قمنا بحساب:

، كل ذلك باستخدام المتغير . نأخذ التكامل:

ونضع:

نبدأ في التنظيف:

\int{\frac{-2\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}{\left( 1-2\sqrt{2}t \right)\left( -\sqrt{2}{{t}^{2}}+\sqrt{2}+t \right)}dt} \int{\frac{-2}{1-2\sqrt{2}t}dt}=\left| \begin{matrix}&u=1-2\sqrt{2}t\\&du=-2\sqrt{2}dt\\&dt=\frac{du}{-2\sqrt{2}}\\\end{matrix} \right|=\int{\frac{-2}{u}\frac{du}{-2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{du}{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C

نعود إلى التبديل:

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C

نحتاج أيضًا للعودة من t إلى x. كان تبديلنا لأويلر

xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}

منه

t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}

وبالتالي فإن الحل لدينا

\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+C

ماذا عن الحالات الأخرى؟

نعلم أنه عندما يكون لدينا تكامل:

• a>0 – نستخدم النوع الأول من التبديلات
• c>0 – نستخدم النوع الثاني من التبديلات

ماذا إذا لم يكن أي من ولا أكبر من الصفر؟ سنناقش هذا في المنشور التالي، حيث سنتناول النوع الثالث من تبديل أويلر وسنوضح أن الموضوع سيكون قد انتهى، أي أن كل تكامل من النوع:

… سنختار له أحد أنواع التبديل الثلاثة.