![blog](https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2011/07/pochodne-kierunkowe.jpg)
المشتقات الاتجاهية – شيء جديد مرة أخرى؟
![](https://blog.etrapez.pl/wp-content/wphb-cache/gravatar/c42/c426df57c11a4502eb4801a4fa1b556fx96.jpg)
Krystian Karczyński
مؤسس ورئيس موقع eTrapez.
حاصل على درجة الماجستير في الرياضيات من الجامعة التقنية في بوزنان (بولندا). معلم خصوصي للرياضيات بخبرة عديدة سنوات. مبتكر أول دورات eTrapez، التي حققت شعبية كبيرة بين الطلاب في جميع أنحاء بولندا.
يعيش في شتشيتسين (بولندا). يحب النزهات في الغابة، الاستجمام على الشاطئ، وركوب الكاياك.
مكان وزمان العمل
حساب المشتقات الاتجاهية كموضوع للدراسة (أي للحصول على العلامة) يأتي فعليًا مباشرة بعد المشتقات الجزئية للدوال متعددة المتغيرات، والتي يدرسها معظم الطلاب في الفصل الدراسي الثاني.
هذا موضوع نادر ما يُتخذ، لذلك لم أدرجه في دورتي عن المشتقات الجزئية، ولكنه شائع بما يكفي لأدرجه في المدونة – لفائدة هؤلاء الذين يحتاجون لتعلم المشتقات الاتجاهية وأولئك الذين هم ببساطة فضوليون لمعرفة ما الأمر. ولكن، كما في الدورات، سأركز اليوم تقريبًا فقط على التطبيق (“كيف أفعل هذا؟”) وليس على النظرية (“ماذا أفعل بالضبط؟”).
المشتقات الاتجاهية – كيف أفعل هذا؟
في حالة المشتق الاتجاهي، نحن نتعامل مع زيادة متزامنة في المتغيرين x و y، وهو ما يقابله بالطبع زيادة في قيمة الدالة .
لحل المسألة نحتاج إلى ثلاث أشياء:
- دالة نحسب منها المشتق الاتجاهي.
- نقطة نحسب عندها المشتق الاتجاهي.
- اتجاه معطى في شكل متجه.
عند توفر هذه الأشياء، تتلخص المسألة في تحويل المتجه إلى متجه اتجاهي (شيء من الهندسة التحليلية، سأريكم كيف نفعل ذلك بعد قليل)، ثم إدخاله في الصيغة:
حيث أن:
احسب المشتق الاتجاهي للدالة
الحل:
كل شيء جاهز، فقط يجب تحويل المتجه
المتجه الاتجاهي هو متجه بنفس الاتجاه (من كان ليظن ذلك)، وبنفس الاتجاه، ولكن بطول 1.
يتم حسابه بالصيغة:
بمعنى بسيط، قسمة إحداثياته على طوله.
لذلك نحسب طول المتجه
ثم نحصل على المتجه الاتجاهي:
في الصيغة الخاصة بالمشتق الاتجاهي، نحتاج إلى المشتقات الجزئية للدالة
والآن لدينا كل ما نحتاجه للصيغة:
نقوم فقط بالإدخال ولدينا النتيجة:
تم.
المثال 2
ابحث عن المشتق الاتجاهي للدالة:
الحل:
المسألة أكثر صعوبة قليلاً لأن المتجه الاتجاهي غير معطى مباشرة، ولكن لا مشكلة.
ننتقل من النقطة P إلى النقطة Q، فيكون المتجه الانتقالي هو المتجه [3,4].
الآن نبحث عن المتجه الاتجاهي بحساب طول المتجه [3,4]:
ونحصل على المتجه الاتجاهي:
الآن نحسب المشتقات الجزئية في النقطة (3,1):
ونقوم فقط بالإدخال في الصيغة الخاصة بالمشتق الاتجاهي:
المثال 3
ابحث عن المشتق الاتجاهي للدالة
الحل:
المسألة تبدو أصعب، بسبب عدم وجود متجه الاتجاه في المعطيات. دعونا نرسم الأمر:
الأمر يتعلق بإيجاد إحداثيات أي متجه في الاتجاه المعين.
نستخدم حقيقة أن
والآن نقوم بالطريقة المعتادة.
نحسب المتجه الاتجاهي:
ثم المشتقات الجزئية في النقطة (1,2):
نقوم بالإدخال في الصيغة ولدينا النتيجة
أرحب بأسئلتكم في التعليقات – كالعادة 🙂
هل تبحث عن دروس خصوصية في الرياضيات لمستوى الجامعة أو المدرسة الثانوية؟ أو ربما تحتاج إلى دورة تحضيرية لاختبار الثانوية العامة؟
نحن فريق eTrapez. نعلم الرياضيات بطريقة واضحة، بسيطة ودقيقة جدًا - سنصل حتى إلى الأكثر مقاومة للمعرفة.
لقد قمنا بإنشاء دورات فيديو بلغة مفهومة يمكن تحميلها على الكمبيوتر، الجهاز اللوحي أو الهاتف. تشغل التسجيل، تشاهد وتستمع، كما لو كنت في دروس خصوصية. في أي وقت من اليوم أو الليل.