مختلف النتائج، الحل الصحيح، في مسائل التكاملات غير المحددة – هل هذا ممكن؟

Krystian Karczyński

مؤسس ورئيس موقع eTrapez.

حاصل على درجة الماجستير في الرياضيات من الجامعة التقنية في بوزنان (بولندا). معلم خصوصي للرياضيات بخبرة عديدة سنوات. مبتكر أول دورات eTrapez، التي حققت شعبية كبيرة بين الطلاب في جميع أنحاء بولندا.

يعيش في شتشيتسين (بولندا). يحب النزهات في الغابة، الاستجمام على الشاطئ، وركوب الكاياك.

عند التحقق من نتائج حساباتك في التكاملات غير المحددة مع الإجابات على الأسئلة مثلاً في نهاية الكتاب المدرسي، غالباً ما يمكن أن تصل إلى نقطة محبطة حيث تخرج النتائج مختلفة لديك ولا تستطيع فهم السبب.

من أين تأتي الاختلافات؟

من المهم أن تعرف أن كلا الإجابتين قد تكونان صحيحتين، يعني إجابتك وإجابة الكتاب. أولاً، نفس التعبير يمكن كتابته بطرق مختلفة، على سبيل المثال:

بعد الاختصار يعطينا:

وعلى سبيل المثال هو نفسه:

قد يكون الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو أن النتائج قد تختلف بثابت وهذا أيضًا لا يشكل مشكلة، لأن التكامل غير المحدد بحد ذاته يُعرف بأنه عائلة من الدوال المختلفة بثابت.

لذا:

ينتمي إلى نفس عائلة الدوال مثل:

لأنها تختلف فقط بثابت (-1). كلا النتيجتين صحيحتين.

وسينتمي أيضًا إلى نفس عائلة الدوال:

لأن هي ثابت كما هو الحال مع 2 أو 3.