حدود المتتالية بمجموع المربعات أو مجموع المكعبات
Krystian Karczyński
مؤسس ورئيس موقع eTrapez.
حاصل على درجة الماجستير في الرياضيات من الجامعة التقنية في بوزنان (بولندا). معلم خصوصي للرياضيات بخبرة عديدة سنوات. مبتكر أول دورات eTrapez، التي حققت شعبية كبيرة بين الطلاب في جميع أنحاء بولندا.
يعيش في شتشيتسين (بولندا). يحب النزهات في الغابة، الاستجمام على الشاطئ، وركوب الكاياك.
في حدود المتتاليات، أحيانًا تكون هكذا:
وأحيانًا تكون هكذا:
ماذا نفعل حينها؟
الجواب بسيط:
الصيغ لمجموع المربعات ومجموع المكعبات للأعداد الطبيعية المتتالية.
الصيغ كانت كالتالي:
الصيغ – كأي صيغ – لحفظها عن ظهر قلب. إذا كنت قد واجهت أمثلة مماثلة وتحتاجها بالفعل.
بمعرفة هذه الصيغ يصبح حساب الحدود الخاصة بنا سهلاً للغاية:
الحد التالي:
البراهين الاستقرائية للصيغ
يمكن إثبات صحة الصيغ بسهولة نسبية باستخدام الاستقراء (على الأقل قبل بضع سنوات كان هذا معيارًا في المدرسة الثانوية). سأقوم بذلك للصيغة التالية:
1. 
الخطوة الاستقرائية الأولى
نتحقق من صحة الصيغة عندما n=1:
صحيح
الخطوة الاستقرائية الثانية
نفترض الفرضية، أنه بالنسبة لعدد طبيعي معين n:
الخطوة الاستقرائية الثالثة
نثبت النظرية (باستخدام الفرضية المفترضة) أنه بالنسبة ل n+1 فإن الصيغة تنطبق أيضًا، أي:
على الجانب الأيسر بدلاً من 
نضع الصيغة من الفرضية، وعلى الجانب الأيمن نقوم بالترتيب فقط:
ثم بدلاً من العمل بشكل متعجل نتصرف بدقة أكبر:
أي أن النظرية قد ثبتت. الصيغة قد ثبتت بالاستقراء.
أدعوكم لإثبات الصيغة الثانية بالاستقراء، لمجموع المكعبات:
هل تبحث عن دروس خصوصية في الرياضيات لمستوى الجامعة أو المدرسة الثانوية؟ أو ربما تحتاج إلى دورة تحضيرية لاختبار الثانوية العامة؟
نحن فريق eTrapez. نعلم الرياضيات بطريقة واضحة، بسيطة ودقيقة جدًا - سنصل حتى إلى الأكثر مقاومة للمعرفة.
لقد قمنا بإنشاء دورات فيديو بلغة مفهومة يمكن تحميلها على الكمبيوتر، الجهاز اللوحي أو الهاتف. تشغل التسجيل، تشاهد وتستمع، كما لو كنت في دروس خصوصية. في أي وقت من اليوم أو الليل.
