التكاملات غير المحددة النسبية – متعدد الحدود من الدرجة الثالثة في المقام

---

في التكاملات غير المحددة النسبية، كما نعلم، غالبًا ما يجب تحليل مقام الدالة المتكاملة إلى عوامل وتحليلها إلى كسور بسيطة.

لكن التحليل إلى عوامل بحد ذاته يمكن أن يكون غالبًا صعبًا.

مواقف نموذجية

مع المواقف البسيطة مثل:

سنكون بخير:

إذا كان المقام يحتوي على متعدد حدود من الدرجة الثالثة مرتبة بشكل مناسب، فسنكون بخير أيضًا:

مقام يحتوي على متعدد حدود من الدرجة الثالثة غير ودي

تبدأ المشكلة عندما يحتوي المقام على متعدد حدود من الدرجة الثالثة أكثر “غير ودي” للتحليل، على سبيل المثال:

خذ نفسًا عميقًا.

سيطر على الذعر.

كانت هذه الأشياء (تحليل هذا النوع من المتعددات الحدودية إلى عوامل) تُفعل بالفعل في المدرسة الثانوية وعلى المستوى الأساسي.

كل ما تحتاجه هو حيلة ذكية:

هل تذكر؟ بالتأكيد نعم…

لذلك يمكننا تحليل متعدد الحدود في المقام:

ثم نستمر في التحليل إلى ثلاثة كسور بسيطة كما تخبرنا القواعد.

تحليل أصعب إلى عوامل

وماذا عن مثل هذا الموقف؟ هل نتذكر من المدرسة الثانوية (هذا بالفعل نطاق موسع)؟

كان الوضع هنا أسوأ قليلاً. كان يجب تفكيك المكون الأوسط إلى اثنين:

ثم نستمر بالطريقة القديمة:

أي يجب كتابة التكامل:

واستمر في الحساب بهدوء.

طرق تحليل المقام إلى عوامل في التكاملات النسبية

بشكل عام، تذكر في التكاملات النسبية أنه إذا كان التحليل إلى عوامل لمتعدد الحدود مطلوبًا، فجميع الحيل من المدرسة الثانوية مسموح بها، وقد تشمل أيضًا على سبيل المثال:

• تحليل بعض متعددات الحدود من الدرجة الرابعة من خلال تبديل مساعد
• البحث “عشوائيًا” عن الجذر وتقسيم متعدد الحدود لخفض درجته

بالطبع، نحن نتحدث الآن فقط عن التكاملات النسبية غير المحددة الأصعب، التي في العديد (معظم؟) الجامعات لا يتم تدريسها حتى!