إثبات أن sin(x) لا يصل إلى حد عندما يقترب x إلى اللانهاية

Krystian Karczyński

مؤسس ورئيس موقع eTrapez.

حاصل على درجة الماجستير في الرياضيات من الجامعة التقنية في بوزنان (بولندا). معلم خصوصي للرياضيات بخبرة عديدة سنوات. مبتكر أول دورات eTrapez، التي حققت شعبية كبيرة بين الطلاب في جميع أنحاء بولندا.

يعيش في شتشيتسين (بولندا). يحب النزهات في الغابة، الاستجمام على الشاطئ، وركوب الكاياك.

لدينا حد دالة:

بديهياً نشعر أن هذا الحد غير موجود. القيم x تزداد وتزداد، وقيم الجيب “تتأرجح” باستمرار بين -1 و 1.

الدليل الرسمي

ولكن كيف نثبت هذا رسمياً؟

من تعريف حد الدالة عندما x تقترب إلى اللانهاية نعلم أن الحد موجود إذا كانت كل متتالية من الحجج للدالة التي تتباعد إلى تتقارب إلى نفس العدد (في هذه الحالة يكون هذا العدد هو الحد).

لإظهار أن هذا الحد غير موجود يكفي أخذ متتاليتين عشوائيتين من الحجج التي تتباعد إلى وإظهار أن القيم المقابلة تتقارب إلى عددين مختلفين.

نعلم أن دالة الجيب دورية، لذلك يمكن أن تكون المتتاليات على سبيل المثال:

بالطبع كلا المتتاليتين تتباعدان إلى اللانهاية عند

الآن دعونا نلقي نظرة على القيم المقابلة لهذه المتتاليات :

بالطبع المتتالية الأولى تتقارب إلى 0، والمتتالية الثانية تتقارب إلى 1.

هذا يكفي لإثبات أن حد الدالة:

غير موجود.