Підстановки Ейлера I роду (для a>0) – повторення
У попередньому пості:
ми розглядали інтеграли типу:
,
де a>0.
Ми також розв’язали приклад інтегралу, який відповідає цій умові, тобто
Але що, якщо 
в тричлені буде від’ємним (випадок, коли a=0 можна пропустити, бо тоді це не буде квадратний тричлен і інтеграл розв’язується через простіше підстановку 
ніж підстановку Ейлера)?
Тоді нам може допомогти (але не обов’язково…) другий тип підстановок Ейлера:
Підстановка Ейлера II роду (для c>0)
Маючи інтеграл типу:
,
де c>0, ми застосовуємо підстановку типу:
,
яку знову підносимо обидві сторони до квадрату, де цього разу члени з 
скорочуються і які потрібно ще поділити обидві сторони на 
, щоб вийти на лінійну залежність, з якої визначимо за допомогою змінної 
в послідовності:
Підставляємо це все в інтеграл:
і знову виходимо на раціональний інтеграл, який – повторюю – зазвичай є трудомістким.
Почнемо з прикладу.
Приклад
У квадратному тричлені дещо змінено порядок членів, але зрозуміло, що 
. Тобто не більше за 
(тому ми не будемо застосовувати перший тип підстановок Ейлера), але c>0 (тобто застосуємо другий тип).
Підставляємо:
Підносимо обидві сторони до квадрату:
Член 2 скорочується (так має бути):
і тепер те, чого не було в першому типі підстановок, ділимо обидві сторони на x:
Далі визначаємо x:
Маємо x визначене за допомогою змінної t. Тепер визначаємо 
. Спочатку мали підстановку:
вже визначене, тому просто підставляємо:
Залишається визначити тільки 
. Обчислимо це, взявши похідну від :
Маємо таке:
, все за допомогою змінної . Беремо інтеграл:
і підставляємо:
Беремось за очищення:
Повертаємось до підстановки:
\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+CЩе треба повернутися з t до x. Нашою підстановкою Ейлера було
xt+\sqrt{2}=\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}Звідки
t=\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x}Тобто наше рішення це
\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| u \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}t \right|+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left| 1-2\sqrt{2}\frac{\sqrt{2+x-{{x}^{2}}}-\sqrt{2}}{x} \right|+CЩо з іншими випадками?
Ми знаємо, що коли в інтегралі:
- a>0 – ми використовуємо перший тип підстановок
- c>0 – ми використовуємо другий тип підстановок
А що, якщо ні , ні не більші за нуль? Про це в наступному пості, де я розгляну третій тип підстановок Ейлера і покажу, що тема буде вичерпана, тобто для кожного типу інтегралів:
…ми виберемо одну з трьох видів підстановок.
