Бувають у житті такі ситуації, коли областю інтегрування в подвійній інтегралі є еліпс….
Що тоді робити?
Еліптичні координати
Елегантним методом вирішення часто є використання так званих еліптичних координат. Це щось на кшталт полярних координат, механізм дії дуже схожий, лише ви підставляєте різні речі для x та y і якобіан інший. Інтерпретація 'r’ також інша. Отже, підсумовуючи, якщо ви вмієте переходити до полярних координат (а це зазвичай робиться, коли областю інтегрування є коло), то ви без труднощів зрозумієте еліптичні координати.
Отже, ми маємо інтеграл: 
і область інтегрування, обмежену еліпсом з центром у початку координат, рівняння якого: 
. Давайте впевнимось, що справа від рівняння еліпса точно 1, добре? Якщо, наприклад, там 9, можна легко зробити 1, поділивши обидві частини рівняння на 9.
Область інтегрування, що малюється, виглядає так:
Що означають a і b, кожен бачить на рисунку. Потрібно бути уважним, бо якщо в знаменнику рівняння еліпса під 
є, наприклад, 9, то це означає, що 
, очевидно чому, правда?
Отже, маючи таку „чисту” ситуацію, переходимо до еліптичних координат, підставляючи:
Значення змінних в еліптичних координатах
Кут 
означає те ж саме, що і в полярних координатах, а 
означає інше. У основних задачах з еліпсом, заданим гарним рівнянням , просто припустимо, що змінюється від нуля до одного (у складніших випадках підставте і у рівняння еліпса і обчисліть верхнє обмеження r).
Якобіан
Якобіан в еліптичних координатах дорівнює 
.
Запам’ятавши якобіан, переходимо до інтегралу в еліптичних координатах:
де змінні та обмежені: у межах від нуля до одного, а залежно від того, говоримо ми про весь еліпс, половину чи, наприклад, чверть – як у полярних координатах.
Просто візьміть і рахуйте.
Приклад
Обчисліть інтеграл 
, де D – це еліпс з рівнянням: 
.
Згідно з наведеним вище планом, підставляємо:
Беремо область інтегрування:
І рахуємо інтеграл:
Що вже, звісно, є формальністю 🙂
