Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Rząd macierzy

 

Rząd macierzy Wykład 1

 

Temat: Rząd macierzy – definicja

 

Streszczenie

W artykule przedstawię po prostu, co to jest rząd macierzy.

Wstęp – definicja wektora

Zanim przejdziemy sobie do samego pojęcia macierzy, powiemy sobie, czym jest wektor. Z wektorami spotkaliśmy się już w szkole średniej i być może na studiach przy okazji geometrii analitycznej. Tam oznaczały one przesunięcie na płaszczyźnie, np. [2,-4] – był to wektor oznaczający przesunięcie na osi OX o dwie jednostki w prawo, a na osi OY o cztery jednostki w dół. Wektory oznaczało się strzałkami. [3,-2,5] – był to wektor w przestrzeni trójwymiarowej, a jego współrzędne oznaczają przesunięcia po odpowiednich osiach. Również i jego można wyobrazić sobie jako strzałkę.

Rozszerzając jednak pojęcie wektora na więcej współrzędnych otrzymamy macierz jednowierszową, np. [matrix{1}{9}{3 0 -1 4 5 10 -2 4 4}] – jest to wektor 9-wymiarowy. Nie musi on oznaczać jakiegokolwiek geometrycznego przesunięcia (ruch w 9 wymiarach? – hmmm…), ale na przykład ceny w koszyku inflacyjnym, czy coś takiego.

Zapomnijmy więc o wektorach jako przesunięciach geometrycznych i umówmy się na nową definicję: wektor to macierz jednowierszowa (albo jednokolumnowa – to wszystko jedno).

Definicja wektorów zależnych i niezależnych

Jak już wiemy, co to jest wektor, możemy określić sobie, kiedy dwa (na początku) wektory są od siebie liniowo zależne. Dwa wektory nazwiemy liniowo zależnymi, gdy istnieje taka liczba, że po przemnożeniu przez tą liczbę jednego z wektorów są one równe, tzn.

{exists}under{k}vec{x}=k*vec{y}

Gdzie symbolem vec{x} oznaczamy wektor, a ten dziwny symbol: exists to odwrócona literka „e” od angielskiego „exists”, czyli „istnieje”. {exists}under{k} czytamy więc: „istnieje k”.

Przykłady dwóch wektorów zależnych to:

Przykład

vec{x}=[1,3,5] i vec{y}=[2,6,10], bo wektor vec{y} to wektor vec{x} przemnożony przez 2.

Geometryczną interpretacją zależności liniowej dwóch wektorów dwu albo trzy wymiarowych jest ich kierunek, tzn. wektory zależne liniowo mają ten sam kierunek, a różnią się tylko zwrotem lub długością.

Oczywiście nie ma mowy, żeby na przykład wektory: vec{x}=[1,2,0,4] i vec{y}=[-1,-4,0], czyli wektory mające różne wymiary (różną liczbę elementów) były liniowo zależne. Nie znajdziemy przecież takiej stałej, co po przemnożeniu zmienia wymiar macierzy, prawda?

Liniową zależność wektorów można określać jednak dla większej ich liczby. Definiujemy ją wtedy następująco:

Definicja

Wektory vec{x_1},vec{x_2},vec{x_3},...,vec{x_n} nazywamy wektorami liniowo zależnymi, jeżeli istnieją takie stałe {alpha}_1,{alpha}_2,{alpha}_3,...,{alpha}_n (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

{alpha}_1vec{x_1}+{alpha}_2vec{x_2}+{alpha}_3vec{x_3}+...+{{alpha}_n}vec{x_n}=vec{0}

Na odwrót powiedzielibyśmy, że dwa wektory są liniowo niezależne, jeżeli NIE istnieją takie stałe {alpha}_1,{alpha}_2,{alpha}_3,...,{alpha}_n (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

{alpha}_1vec{x_1}+{alpha}_2vec{x_2}+{alpha}_3vec{x_3}+...+{{alpha}_n}vec{x_n}=vec{0}

Geometryczną interpretacją liniowej zależności wektorów trzywymiarowych jest ich „komplanarność”, tzn. należenie do jednej płaszczyźnie. Trójwymiarowe wektory liniowo zależne są komplanarne, tzn. leżą na jednej płaszczyźnie.

Obliczanie liniowej niezależności wektorów

Nietrudno sobie wyobrazić, że zadanie polegające na określeniu tego, czy wektory są liniowo zależne, czy niezależne z definicji jest męczące (a nawet męczące z definicji). Na przykład dla wektorów czterowymiarowych:

vec{x_1}=[1,3,-2,4]

vec{x_2}=[1,-1,3,5]

vec{x_3}=[0,1,4,-2]

vec{x_4}=[10,-2,5,1]

Musielibyśmy sprawdzić, czy istnieją takie stałe {alpha}_1,{alpha}_2,{alpha}_3,{alpha}_4 (takie, że co najmniej jedna z nich różna jest od zera), że:

{alpha}_1[1,3,-2,4]+{alpha}_2[1,-1,3,5]+{alpha}_3[0,1,4,-2]+{alpha}_4[10,-2,5,1]=[0,0,0,0]

Czyli (po przemnożeniu wektorów przez stałe):

[{alpha}_1,3{alpha}_1,-2{alpha}_1,4{alpha}_1]+[{alpha}_2,-{alpha}_2,3{alpha}_2,5{alpha}_2]+[0,{alpha}_3,4{alpha}_3,-2{alpha}_3]+[10{alpha}_4,-2{alpha}_4,5{alpha}_4,{alpha}_4]=[0,0,0,0]

Co jest równoważne układowi równań:

Układ równań do badania liniowej niezależności wektorów w przykładzieTeraz trzeba by sprawdzić, czy istnieją jakieś rozwiązania tego układu z wyjątkiem takiego, że wszystkie {alpha}_1,{alpha}_2,{alpha}_3,{alpha}_4 równe są zero.

Długie, żmudne, niewygodne, prawda?

Rząd macierzy

Tutaj dochodzimy właśnie do tego, czym jest rząd macierzy. Jeżeli wektory poukładamy wierszami (albo kolumnami – wszystko jedno) jeden pod drugim otrzymamy macierzy, prawda? Na przykład dla naszych wektorów z przykładu powyżej była by to:

Macierz złożona z wektorów z przykładuZdefiniujmy rząd macierzy:

Definicja

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów będących wierszami (lub kolumnami) tej macierzy.

Obliczanie rzędu macierzy jest już o wiele, wiele łatwiejsze niż szarpanie z definicji (jak to dokładnie robić, przedstawione jest na przykład w moim Kursie Macierzy). Interpretacja wyniku jest prosta. Jeżeli rząd tej macierzy po obliczeniu równy był by 3, oznacza to, że w tych wektorach są tylko 3 liniowo niezależne od siebie, czyli ta czwórka jako całość jest liniowo zależna.

Tak się jednak składa, że:

Rząd macierzy z przykładuCzyli że rząd tej macierzy równy jest cztery. Mamy więc cztery wektory, spośród których 4 są liniowo niezależne. Oczywisty wniosek jest taki, że te wektory są liniowo niezależne.

Kliknij, aby zobaczyć, jak rząd macierzy zastosować do sprawdzania, czy wektory tworzą bazę (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

Kurs Macierze

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 7 Lekcji
  • 260 minut nagrań video
  • 70 pytań testowych i 100 przykłady do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu macierzy w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

7 komentarzy na “Rząd macierzy”

  1. Adam 20 marca 2013 o 20:49 Link do komentarza

    Witam, znalazłem pewną nieścisłość w Pana Kursie Macierzy, lekcja 5 (Rząd macierzy) minuta 17:30, gdyby wybrać do ‚wyzerowania’ wiersz pierwszy to byśmy otrzymali rząd macierzy:

    -2 1 -3
    -4 2 -2
    -10 5 -15

    z czego otrzymalibyśmy kolejny rząd macierzy

    0 4
    0 0

    i koncowy wynik wyszedłby 4, a nie 3 tak jak na filmiku. Proszę, o odpowiedź bo nie wiem co teraz robić.

    • Krystian Karczyński 4 kwietnia 2013 o 11:37 Link do komentarza

      Prześledźmy to dokładnie. Mamy tam sytuację:

      1+rz\left[ \begin{matrix}     1 & 0 & 1 & 4 \\     0 & 1 & 2 & 5 \\     1 & 2 & 5 & 14 \\     4 & 5 & 14 & 41 \\  \end{matrix} \right]

      Jeżeli chciał by Pan „wyzerować” pierwszy wiersz, przy pomocy jedynki z trzeciej kolumny (co jest jak najbardziej O.K.), trzeba trzecią kolumnę pomnożyć przez -1 i dodać do pierwszej (to działania wykonał Pan poprawnie) i trzecią kolumnę pomnożyć przez -4 i dodać do czwartej (a tu już są błędy).

      Wyjdzie się więc na macierz:

      1+rz\left[ \begin{matrix}     1 & 0 & 1 & 4 \\     0 & 1 & 2 & 5 \\     1 & 2 & 5 & 14 \\     4 & 5 & 14 & 41 \\  \end{matrix} \right]=1+rz\left[ \begin{matrix}     0 & 0 & 1 & 0 \\     -2 & 1 & 2 & -3 \\     -4 & 2 & 5 & -6 \\     -10 & 5 & 14 & -15 \\  \end{matrix} \right]=2+rz\left[ \begin{matrix}     -2 & 1 & -3 \\     -4 & 2 & -6 \\     -10 & 5 & -15 \\  \end{matrix} \right]

      W drugim wierszu trzeciej kolumny będzie -6, a nie -2.

  2. Basia 24 listopada 2013 o 15:18 Link do komentarza

    Kurs macierze, lekcja 5 – rząd macierzy , minuta 20:30 . Mówi Pan, że rząd macierzy, której elementami są same zera jest równy zero. W takim razie rząd całej tej macierzy 5×5 nie powinien być 2, a nie 3?

  3. Beata 1 kwietnia 2014 o 22:43 Link do komentarza

    a ja znalazłam byka w zadaniu domowym. zadanie 1. przykład 3. rząd macierzy wychodzi 4. (w odpowiedziach że 3). wykluczyłam możliwość swojej pomyłki (sprawdzałam wielokrotnie; nie chce wyjść inaczej)

  4. damiano444492 5 marca 2015 o 01:44 Link do komentarza

    Przepraszam, że mój komentarz będzie nie w temacie.
    Dotyczy wektorów, a to tematycznie blisko macierzy, nie miałem go gdzie indziej napisać.
    Wydaje mi się, że w swoim pdfie „wektory bez układu”
    http://www.akademia.etrapez.pl/wp-content/uploads/domowe/kga/wektorybukl.pdf
    zrobił Pan błąd we wzorze na rzut wektora a na wektor b.

    Dx
    ^
    /
    /
    x—–>x——>x
    A B C

    „x” oznacza punkt.
    Kąt CAD = kąt BAC = alfa

    Na rysunku mamy trzy wektory:
    1. Wektor a = wektor AD
    2. Wektor b = wektor AC
    3. Wektor a.b = wektor AB

    Wektor a.b jest rzutem wektora a na kierunek wektora b.
    Na rysunku nie jestem w stanie tego osiągnąć, ale punkt D zrzutowany pod kątem prostym na prostą AC da punkt B.

    1.
    Jak jest poprawnie?
    widzimy, że wektor a.b obliczymy ze wozru (1*)
    a.b = a * cos(alfa) (1*)

    cos(alfa) weźmiemy z przekształcenia iloczynu skalarnego
    a skalarnie b = |a|*|b|*cos(alfa)
    stąd
    a skalarnie b
    cos(alfa) = —————
    |a|*|b|

    I ten wzór na cos(alfa) wstawiam do wzoru (1*)

    a skalarnie b
    a.b = a * —————
    |a|*|b|

    a a skalarnie b
    a.b = — * —————
    |a| |b|

    I otrzymujemy wzór (1**)

    a skalarnie b
    a.b = i.a * ————— (1**)
    |b|

    gdzie i.a jest to wektor jednostkowy działający na kierunku wektora a (czyli równoległy do prostej AD)

    2. A jak Pan zrobił?
    W Pana pdfie wzór na rzut wektora a na wektor b wyraża się wzorem (2*)

    a skalarnie b
    a.b = b * —————- (2*)
    (|b|)^2

    Według mnie to jest błędny wzór, ponieważ
    wykonując następujące przekształcenia

    b a skalarnie b
    a.b = —– * —————-
    |b| |b|

    dojdziemy do wzoru (2**)

    a skalarnie b
    a.b = i.b * —————- (2**)
    |b|

    gdzie i.b jest to wektor jednostkowy działający na kierunku wektora b (czyli równoległy do prostej AB)

    No i teraz porównując wzory (1**) oraz (2**) widzimy, że różnią się jednym wyrazem:
    we wzorze (1**) jest i.a
    we wzorze (2**) jest i.b

    Wiemy, że wektor i.a nie jest równy wektorowi i.b.
    Więc jedna z tych opcji jest dobra (albo może być też tak, że żadna z tych dwóch opcji nie jest dobra – ale to według mnie nie ma miejsca)
    I myślę, że to Pańska opcja jest tą niepoprawną.
    Mógłby Pan podać wyprowadzenie, jak Pan do tego wzoru doszedł?

    Być może, że się mylę albo nie rozumiem, w jaki sposób Pan mógł to wyprowadzić. Ale wydaje mi się, że Pańsk iwzór jest zły.

  5. karola 27 marca 2015 o 18:32 Link do komentarza

    Czy można obejrzeć filmik do tego kursu (liczenie rzędu macierzy)?

Dodaj komentarz