Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Całki Oznaczone – definicja

 

Całki Oznaczone Wykład 1

 

Temat: Całki Oznaczone – definicja

 

Streszczenie

W pierwszej części wykładu pokażę, czym jest całka oznaczona (w sensie Riemmana) i jak powstaje odpowiadający jej szereg. W drugiej wprowadzę ścisłą, matematyczną definicję.

 

Część I – całka oznaczona jako pewien szereg (suma)

Jak to często w matematyce bywa, całki oznaczone nie powstały sobie ot tak, „z niczego”. Całki oznaczone  rozwiązują pewien – zupełnie prosty do zrozumienia – problem. Czyli najpierw był PROBLEM, a później pojawiły się całki oznaczone. Na czym polegał problem?

Problem dokładnego obliczenia pola

Zastanówmy się nad kwestią obliczania pola jakiegoś obszaru. Znamy wzory na pola: koła, kwadratu, prostokąta, równoległoboku, trapezu, rombu itd. Jest fajnie.

Co jednak jeśli obszar (np. kawałek lasu), który rozmiar chcemy policzyć nie jest takim równym: kołem, kwadratem, prostokątem, równoległobokiem, trapezem, rombem itd.? Mamy problem.

 

Sposób na obliczenie pola „nietypowego” obszaru

Na innym wykładzie (poświęconym całkom nieoznaczonym) przedstawiłem już pewien sposób na ugryzienie tej sprawy:

Całka nieoznaczona a obliczenia pola obszaru

 

Na tym wykładzie spróbujemy jednak z innej strony.

Narysujmy sobie obszar „nietypowy” i wprowadźmy układ współrzędnych:

Pole nietypowego obszaru

Obszar, który narysowałem można nazwać ‚trapezem krzywoliniowym” (bo jedna z podstaw jest krzywą). Jak się zastanowić, to właściwie każdego „kleksa”, czy obszar nieregularny da się podzielić na trapezy krzywoliniowe.

Zakładamy, że funkcję f(x) już znamy, czyli że jest ona DANA.

Jeśli tak, to dosyć łatwo policzyć możemy pola tych dwóch prostokątów:

Pole P przybliżone dwoma prostokątami

W ten sposób otrzymujemy pewne (zapewne dosyć grube) przybliżenie pola P, czyli:

P{approx}P_1+P_2

Możemy pójść krok dalej i obszar przybliżyć polami trzech prostokątów:

Pole P przybliżone polami trzech prostokątów

Otrzymamy oczywiście w ten sposób także przybliżenie pola P, ale zapewne już bardziej dokładne:

P{approx}P_1+P_2+P_3

Zwiększając liczbę prostokątów do 10:

Pole P przybliżone polami 10 prostokątów

Otrzymujemy, kolejne, lepsze przybliżenie pola P:

P{approx}P_1+P_2+P_3+P_4+P_5+P_6+P_7+P_8+P_9+P_{10}

Jeśli naszym celem było by policzenie pola P z pewną dokładnością, moglibyśmy osiągnąć to łatwo dzieląc go na odpowiednią ilość prostokątów.

Przypominam jednak, że celem jest obliczenie dokładnej, a nie przybliżonej, wartości pola P. Jak to osiągnąć?

Metoda jest już dobra, tylko prostokątów musi być po nieskończenie wiele. Jeżeli prostokątów tych będzie nieskończenie wiele i będą nieskończenie małe ich suma da nam dokładną wartość pola P.

Samo zrozumienie, że coś takiego jest możliwe, pchnęło matematykę niesamowicie do przodu.

Na tym filmiku objaśniam bliżej, jak suma nieskończonej ilości składników może być skończona, możesz przejrzeć ją sobie jako dodatek do wykładu:

Mamy w ten sposób metodę na policzenie dokładnej wartości „nietypowego” pola. Robimy to, dzieląc go na nieskończoną liczbę nieskończenie małych prostokącików i sumując ich pola.

Tak otrzymaną sumę nieskończoną (można też powiedzieć: szereg) nazywa się właśnie całką oznaczoną w sensie Riemanna (od nazwiska Pana, który jako pierwszy dobrze ją opisał).

Pozostaje już nam właściwie tylko doszlifować formalności, które powinny odpowiedzieć na kilka wiszących jeszcze w powietrzu pytań.

Zajmiemy się tym w II części Wykładu.

 

Część II – Definicja całki oznaczonej (jako pewnego szeregu)

Opiszmy może bardziej szczegółowo to, co robiliśmy w części I.

Na początku wybraliśmy dwa prostokąty. Aby to zrobić, musieliśmy podzielić odcinek [a,b] na dwie części punktem podziału – powiedzmy – x_1:

Pole P przybliżone dwoma prostokątami z zaznaczonym punktem x1

Ile równe jest pole P_1? Oczywiście bok razy bok. Długość jednego boku to (jak widać na wykresie) x_1-a. Długość drugiego boku to wartość funkcji w punkcie {xi}_1, czyli f({xi}_1):

Pole P przybliżone dwoma prostokątami z zaznaczonym punktem xi1

Czyli:

P_1=(x_1-a)*f({xi}_1)

 

W przypadku pola P_2 jeden bok naszego prostokąta ma długość b-x_1, a nasz punkt {xi}_2 zbiegł się właściwie z punktem b:

Pole P przybliżone dwoma prostokątami z zaznaczonym punktem xi2

Czyli:

P_1=(b-x_1)*f({xi}_2)

 

Zatem całe nasze pole P:

P{approx}(x_1-a)*f({xi}_1)+(b-x_1)*f({xi}_2)

Wyczuwamy już, że konstrukcje większych ilości prostokątów będą wyglądały podobnie i zaraz się tym zajmiemy, najpierw jednak powiedzmy sobie kluczową dla całej definicji całki oznaczonej kwestię.

Uwaga.

Jeszcze raz uwaga.

Punkt x_1 dzielący odcinek [a,b] możemy wybrać sobie całkowicie DOWOLNIE. Punkt {xi}_1 wewnątrz odcinka [a,x_1] mogliśmy sobie wybrać całkowicie DOWOLNIE. Punkt {xi}_2 wewnątrz odcinka [x_1,b] mogliśmy sobie wybrać całkowicie DOWOLNIE (i akurat wzięliśmy go na brzegu tego odcinka).

Oznacza to, że gdybyśmy przyjęli zupełnie inne punkty {xi}_1,{xi}_2, otrzymalibyśmy zupełnie inne prostokąty:

Pole P przybliżone dwoma prostokątami z zaznaczonym gdzie indziej punktami xi1 i xi2

Jednak pola tych prostokątów nadal w pewien sposób stanowiły by przybliżenie pola P (oczywiście inne, niż poprzednim razem) i stosując naszą metodę dalej (zwiększając liczbę prostokątów w nieskończoność) otrzymalibyśmy równie dobrze pole obszaru P.

Przybliżmy teraz pole P trzema prostokątami, tak jak robiliśmy to w części I.

Zwiększając liczbę prostokątów do trzech dzielimy odcinek [a,b] na trzy dowolnie wybranymi punktami x_1,x_2 i wewnątrz nich dowolnie wybieramy punkty {xi}_1,{xi}_2,{xi}_3:

Pole P przybliżone trzema prostokątami z zaznaczonymi punktami podziału x1, x2 i punktami xi1, xi2, xi3

Otrzymując w ten sposób przybliżenie pola P:

P{approx}(x_1-a)*f({xi}_1)+(x_2-x_1)*f({xi}_2)+(b-x_2)*f({xi}_3)

Odcinki: [a,x_1],[x_1,x_2],[x_2,b] możemy dla skrócenia oznaczyć jako:

{Delta}x_1,{Delta}x_2,{Delta}x_3.

Mamy więc:

P{approx}f({xi}_1){Delta}x_1+f({xi}_2){Delta}x_2+f({xi}_3){Delta}x_3

 

Widzimy więc, że dla jakiegokolwiek ustalonego podziału na ‚n’ prostokątów mamy:

P{approx}f({xi}_1){Delta}x_1+f({xi}_2){Delta}x_2+f({xi}_3){Delta}x_3+...+f({xi}_n){Delta}x_n

 

DEFINICJA CAŁKI OZNACZONEJ

Zwiększając liczbę odcinków, na które dzielimy odcinek [a,b] w nieskończoność otrzymujemy sumę nieskończoną (zwaną: „sumą całkową”):

Suma całkowa

 

Jeśli ta granica zbieżna jest zawsze do tej samej liczby, niezależnie od wyboru odcinków {Delta}x_n (przy czym zakładamy, że długości tych odcinków dążą do zera wraz ze wzrostem n) i niezależnie od wyboru punktów {xi}_n, to liczba ta nazywa się całką oznaczoną w przedziale od a do b.

Zwróć uwagę na nieprzypadkowe podobieństwo oznaczeń:

Oznaczenie w sumie całkowej

 

oraz:

Całka nieoznaczona

Całkowanie to nic innego jak sumowanie. Sumowanie wartości nieskończenie małych.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na istotne punkty definicji:

  • Długość odcinków {Delta}x_n musi być nieskończenie mała, tzn. jeśli przez lambda oznaczymy długość najdłuższego z nich dla danego n, to musi być: {lim}under{n{right}{infty}}lambda=0. Inaczej moglibyśmy obrać sobie na początku jakiś prostokąt na przykład P_1 i całą resztę obszaru podzielić na nieskończenie małe prostokąty. Mielibyśmy wtedy nieskończoną ilość prostokątów, ale nie mielibyśmy dokładnej wartości pola P.
  • Podział odcinka [a,b] na nieskończenie małe odcinki {Delta}x_n musi być całkowicie dowolny, tak samo jak wybór punktów {xi}_n i dla każdego takiego wyboru szereg musi sumować się do tej samej liczby. Jeżeli dla jednego wyboru odcinków i punktów wychodzi nam inna wartość sumy, niż dla wszystkich pozostałych ta suma nie jest całką oznaczoną.

Aby nabrać wprawy i zrozumienia definicji całki oznaczonej, na kolejnym wykładzie przejdziemy do przykładów na obliczanie całek oznaczonych z definicji.

 

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom II.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

Kliknij tutaj, aby przejść do kolejnego wykładu, poświęconego obliczaniu całek oznaczonych z definicji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o całkach oznaczonych

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

9 komentarzy na “Całki Oznaczone – definicja”

  1. Klaudia 6 lutego 2012 o 14:59 Link do komentarza

    Witam
    Chciałabym się zapytam, jak dobrze przesuwać granice całkowania? W Pana kursie, najpierw obliczamy całkę nieoznaczoną, potem podstawiamy do uzyskanego wyniku granice całki. Na mojej uczelni, nie dzielą całki oznaczonej na nieoznaczoną, i jak mają oznaczoną to obliczają ją zwyczajnie z granicami, tylko one są w jakiś sposób przesuwane. Nigdy do końca nie jestem pewna czy zrobiłam dobre przesunięcie, więc liczę Pana sposobem, ale dowiedziałam się, że na egzaminie mogę mi tego nie uznać ;p
    PS Reguły Sarrusa też mam ponoć lepiej nie stosować, bo mogę punktów nie dostać;p

    • Krystian Karczyński 6 lutego 2012 o 20:19 Link do komentarza

      Dzień dobry

      Tutaj jest post na ten temat:

      Zmiana granic całkowania

      Różne takie mity, że „mogą nie uznać” czegoś tam oczywistego zawsze chodzą po ludziach… Najlepiej je sprawdzać u źródła, tzn. pytając wprost egzaminatora (oczywiście odpowiednio wcześnie, a nie podczas rozdawania kartek z pytaniami) 🙂

  2. Klaudia 7 lutego 2012 o 01:03 Link do komentarza

    Dziękuję bardzo 🙂

  3. Michał 16 lutego 2012 o 09:09 Link do komentarza

    Mam jedno pytanie na wcześniejszym wykładzie o całkach nieoznaczonych a dokładnie
    ,, całki nieoznaczone a pola figur ” tłumaczył pan w inny sposób jak liczyc pola nietypowych obszarów za pomoca stwierdzenia ze pierwsza funkcja jest pochodną drugiej. Czy ma ona jakis związek z tym drugim sposobem liczenia za pomoca sumy nieskonczenie wielu prostokątów ???? Ja słyszalem na wykładach tylko o tej jednej metodzie dlatego interesuje mnie skad jest ten 2 sposob ??? Czy to zalezy od całki ktora metode wykorzystujemy ????
    i czy sa one jakos powiazane ????

    • Krystian Karczyński 16 lutego 2012 o 22:41 Link do komentarza

      Jasne, że jest, do problemu obliczenia pola można podejść na dwa sposoby.

      Całkę nieoznaczoną i całkę oznaczoną łączy wzór Newtona – Leibnitza:

      int{a}{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)

      Po lewej stronie równości jest całka oznaczona (czyli pole liczone w wykładzie powyżej), a po prawej funkcje pierwotne (czyli całki nieoznaczone, liczone w wykładzie o całkach nieoznaczonych i polach).

  4. Michał 17 lutego 2012 o 09:27 Link do komentarza

    Teraz rozumiem czyli to od nasz zalezy wybor metody 🙂 jezeli mamy całke nieoznaczona mozemy korzystac z metody z wczesniejaszego wykładu a jezeli oznaczona to z tego powyzej 🙂 dziekuje bardzo bo bardzo mnie to zastanawialo 🙂 Dziekuje za odpowiedz i za wytłumaczenie 🙂

  5. Michał 17 lutego 2012 o 14:25 Link do komentarza

    Mialbym jeszcze jedno pytanie 🙂 czemu nie mozemy wykorzystywac tej metody z suma nieskonczonej ilosci prostokatów w przypadku całki nieoznaczonej ????
    Bo ten sposob pokazal pan w przypadku całki oznaczonej ale czemu nie moze byc on wykorzystywany przy całce nieoznaczonej ????

    • Krystian Karczyński 22 lutego 2012 o 19:19 Link do komentarza

      Ta metoda z nieskończoną ilością prostokątów jest w praktyce BARDZO męcząca i trudna (zerknij na mój następny Wykład). Dlatego o wiele, wiele prościej jest skorzystać z tw. Newtona-Leibnitza (czyli w praktyce z całki nieoznaczonej).

  6. madzia 10 października 2013 o 19:56 Link do komentarza

    Witam mam pytanie odnośnie granic całokowania jesli za pomoca całki chcemy opliczyc pole koła. pierwsza calka ma granice od r do zera a druga od 2pi do 0?(układ sferyczny) A cała całka wynosi[rsin(x)]?

Dodaj komentarz