Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Ekstrema funkcji

 

Ekstrema Funkcji Wykład 5

 

Temat: Ekstrema funkcji.

 

Streszczenie

Na wykładzie wprowadzę intuicyjnie pojęcie ekstremów funkcji, zdefiniuję też je w sposób ścisły.

Co to jest ekstremum funkcji?

Słowo extremum pochodzi z łaciny i oznacza skrajne. Są dwa rodzaje ekstremów funkcji: minimum i maksimum. Z intuicyjnym rozumieniem tego pojęcia nie ma na ogół problemów:

Ekstremum funkcji (maksimum) w punkcie x0Powyżej mamy wykres funkcji f(x), który osiąga maksimum w punkcie x_0.

Z minimum też, nie mamy żadnych problemów, prawda?

Ekstremum funkcji (minimum) w punkcie x0Powyżej mamy minimum funkcji f(x) w punkcie x_0.

Jak się zastanowić, to nie ma w sumie problemu, żeby funkcja miała kilka ekstremów w różnych punktach:

Dwa maksima i dwa minima na wykresie

Powyższa funkcja ma minima w punktach: b i d; a maksima w punktach: a i c. Na podstawie powyższego wykresu zwrócić uwagę można na ważną rzecz: Uwaga (ważna rzecz) Minimów i maksimów funkcji nie można mylić z najmniejszymi/największymi wartościami funkcji. To coś zupełnie innego. No bo rzeczywiście – wartość funkcji w punkcie d (minimum) jest większa od wartości funkcji w punkcie a (maksimum). Niezbyt ściśle więc – ale obrazowo – „minimum” jest tu większe od „maksimum” (co do wartości funkcji). Przyjrzyj się wykresowi więc – jak opisał byś, czym jest ekstremum? Aby wprowadzić ścisłą i formalną definicję ekstremum przypomnimy sobie z poprzednich Wykładów, co to jest otoczenie punktu:

Definicja otoczenia punktu
Otoczeniem punktu x_0 nazywamy dowolny przedział (x_0-r,x_0+r) dla r>0.

Na naszym wykresie zaznaczyłem dwa różne możliwe otoczenia punktu b (wybrałem sobie dwa różne r). Oczywiście jest ich nieskończenie wiele:

Dwa otoczenie punktu b

Teraz, wiedząc już, czym jest otoczenie, zdefiniować możemy ekstrema funkcji.

 

Ekstrema funkcji – definicja

Funkcja f(x) osiąga ekstremum maksimum (lub minimum) w punkcie x_0, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x_0 (zawarte w dziedzinie funkcji), że dla wszystkich pozostałych punktów x z tego otoczenia:

f\left( {{x}_{0}} \right)>f\left( x \right) maksimum – czyli wartość funkcji w punkcie x_0 jest większa od wartości w dowolnym pozostałym punkcie tego otoczenia (wtedy jest to maksimum)

lub:

f\left( {{x}_{0}} \right)<f\left( x \right) – czyli wartość funkcji w punkcie x_0 jest mniejsza od wartości w dowolnym pozostałym punkcie tego otoczenia (wtedy jest to minimum)

Przyjrzyjmy się wykresowi naszej funkcji i zobaczmy, jak „działa” na nim ta definicja. Zaznaczamy jakieś byle jakie otoczenie punktu b: Otoczenie punktu b nie spełniające warunku z definicji ekstremumJakie wartości przyjmuje funkcja w punktach tego otoczenia? A jaką w punkcie b? Zobaczmy: Wartości funkcji w otoczeniu nie spełniającym warunku z definicjiWidać, że dla wartości funkcji w tym konkretnie wybranym otoczeniu punktu b NIE jest spełniony warunek z definicji, tzn:

f(x_0)<f(x) – czyli wartość funkcji w punkcie x_0 jest mniejsza od wartości w dowolnym pozostałym punkcie tego otoczenia (wtedy jest to maksimum)

Warunek bowiem mówi nam, że wartości funkcji w tym punkcie, gdzie ma być niby ekstremum (u nas jest to punkt b) powinna być mniejsza, od wartości w DOWOLNYM pozostałym punkcie tego przedziału. Tymczasem na wykresie widać, że wartości funkcji f(b) nie jest najmniejsza dla x-sów z tego otoczenia. Tym bardziej nie ma co mówić o maksimum w punkcie b w tym otoczeniu. Czy oznacza to, że funkcja f(x) nie osiąga ekstremum w punkcie b? Nie! Przyjrzyjmy się uważnie definicji. Mamy w niej:

Funkcja f(x) osiąga ekstremum maksimum (lub minimum) w punkcie x_0, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x_0 (zawarte w dziedzinie funkcji), że dla wszystkich pozostałych punktów x z tego otoczenia:…itd.

Istotne w definicji jest słówko „istnieje”. Znaczy to, że wystarczy znaleźć byle jakie otoczenie punktu b, które spełnia warunek z definicji i wystarczy to, aby w punkcie b zostało osiągnięte ekstremum funkcji. No a z tym nie będzie już problemów, weźmy na przykład otoczenie: Wartości funkcji w otoczeniu spełniającym warunek z definicjiWidać, że dla takiego otoczenia punktu b wartość funkcji w punkcie b rzeczywiście jest mniejsza od dowolnej innej wartości funkcji w punktach tego otoczenia, zatem warunek z definicji jest spełniony, czyli można powiedzieć, że funkcja osiąga minimum w punkcie b. Istnieje takie otoczenie, które spełnia warunek z definicji. Bardzo wytwornie i staroświecko można by powiedzieć: „istnieje takie otoczenie, które czyni zadość definicji” – wypróbujcie te słownictwo na profesorach, może będą tak zachwyceni, że zaliczą Wam semestr bez zaliczenia 🙂 Zwróćmy uwagę, że jeśli zdefiniujemy ekstrema funkcji w ten sposób (przez otoczenie punktu) funkcja będzie mogła osiągnąć ekstremum w punkcie x_0 tylko wtedy, kiedy będzie określona z obu stron x_0. Na przykład: Wykres funkcji nie osiagającej ekstremumTa funkcja f(x) nie osiąga ekstremum w punkcie x_0=0 (mimo, że osiąga w nim najmniejszą wartość). Nie ma takiego otoczenia, które spełniało by warunek z definicji, bo jakiekolwiek byśmy nie wzięli, na lewo od x_0 funkcja nie osiąga żadnych wartości, które można by porównać z wartością w punkcie x_0=0. Nie dobierzemy otoczenia punktu x_0, które zawierało by się w dziedzinie funkcji. Uwaga Aby odróżnić ekstrema funkcji od ich największy/najmniejszych wartości często stosuje się następujące słownictwo (dosyć dobrze związane z intuicją): ekstrema funkcji nazywa się ekstremami lokalnymi, a najmniejsze/największe wartości ekstremami globalnymi. Oczywiście kwestia nazewnictwa jest sprawą umowną. Co kto lubi. Powodzenia z ekstremami w uczelnianych bojach! 🙂

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

Kliknij tutaj, aby zobaczyć, jak ekstrema funkcji wiążą się z ich pochodnymi (następny Wykład) –>

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie kilka asymptot znanych funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Kurs Pochodne

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 9 Lekcji
  • 10 godzin nagrań video
  • 90 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu pochodnych w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

7 komentarzy na “Ekstrema funkcji”

  1. Monia 9 maja 2014 o 08:13 Link do komentarza

    Witam, poszukuję programu, który wyliczyłby ekstrema globalne w danym obszarze/zbiorze, czy moge liczyć na pomoc? 🙂

  2. Michal 17 listopada 2014 o 22:35 Link do komentarza

    Slaby wyklad, zdecydowanie nie polecam.

  3. dekd 23 listopada 2014 o 19:49 Link do komentarza

    a ja polecam 😉

  4. Adam 29 stycznia 2015 o 06:31 Link do komentarza

    Czy przy liczeniu ekstremów globalnych nie trzeba wyznaczać dziedzin funkcji?

  5. alonso 20 lutego 2016 o 05:47 Link do komentarza

    Panie Krystianie, jak to liczyć matematycznie bez patrzenia na wykres tylko z samego wzoru funkcji?
    Matematycznie to mam pomysł, żeby przyrównać pochodną do 0 – wtedy dostaniemy przedziały mówiące gdzie funkcja maleje a gdzie rośnie – na podstawie tego wyznaczamy ekstrema?

    • alonso 20 lutego 2016 o 06:39 Link do komentarza

      Okej, udało mi się znaleźć, wikipedia ładnie to wyjaśnia:
      Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
      Funkcja ciągła f\colon [a,b]\to \mathbb{R}, różniczkowalna w przedziale (a,b)\, i mająca skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)[5] ma w punkcie x_0\in (a,b)\,:

      minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie \delta >0,\, że:
      f^\prime(x_0)=0
      f^\prime(x) 0 dla x\in (x_0,x_0+\delta)
      maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie \delta >0,\, że
      f^\prime(x_0)=0
      f^\prime(x)> 0 dla x\in (x_0-\delta, x_0)
      f^\prime(x)< 0 dla x\in (x_0, x_0+\delta)

  6. Stasiu 14 stycznia 2017 o 16:23 Link do komentarza

    Dalej kurde nie wiem co to ekstremum lokalne :< O co tu chodzi?? Coś tam się niby dowiedziałem

Dodaj komentarz