证明当 x 趋向于无穷大时 sin(x) 不达到极限

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。

我们有一个函数的极限：

直观上我们感觉上面的极限是不存在的。x 变得越来越大，而正弦值一直在 -1 和 1 之间“摆动”。

正式证明

但如何正式地展示并证明这一点呢？

根据定义当 x 趋向无穷大时的函数极限，我们知道极限存在，如果对于 每一个趋向 的自变量序列，对应的函数值序列都收敛于同一个数（那么这个数就是极限）。

所以为了展示这样的极限不存在，只需取两个任意趋向 的自变量序列，并展示对应的函数值序列收敛于两个不同的数。

我们知道正弦函数是周期性的，因此可以取如下序列：

显然，当 时，这两个序列都趋向于无穷大。

现在我们来看这些序列对应的函数值序列 ：

显然，第一个序列收敛于 0，第二个序列收敛于 1。

这足以证明函数的极限：

不存在。