有理不定积分 – 分母中的三次多项式
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
在 有理不定积分中，如我们所知，经常需要将被积函数的分母分解为因式，并进一步分解为简单分数。
然而，仅仅是因式分解就可能经常是个麻烦。
典型情况
对于简单的情况，例如：
我们可以应对：
如果分母中有一个适当排列的三次多项式，我们也能应对：
分母中的不友好的三次多项式
问题开始于分母中有一个更难以分解的三次多项式，例如：
深呼吸。
控制住恐慌。
这种事情（这种多项式的因式分解）在高中就已经做过了，而且是基础水平的。
只需要一个聪明的小技巧：
还记得吗？当然记得…
因此我们可以分解分母中的多项式：
然后按照规则分解为三个简单分数。
更难的因式分解
那这样的情况呢？还记得高中学的（这已经是扩展范围了）吗？
这里有点更糟糕。中间的项需要拆分为两个：
然后按照老方法继续：
也就是说，积分应写为：
然后继续计算。
有理积分中分母的因式分解方法
总的来说，记住在有理积分中，如果需要将多项式分解为因式，所有的高中技巧都是允许的，可能还包括例如：
- 通过辅助置换分解一些四次多项式
- “盲目”寻找根，并分解多项式以降低其阶数
当然，我们现在只谈论更难的有理不定积分，这些积分在许多（大多数？）大学甚至没有引入！
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