平方和或立方和的序列极限
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
在序列的极限中，有时是这样的：
有时甚至是这样的：
那怎么办？
答案很简单:
平方和和立方和的公式。
公式如下：
公式 – 就是公式 – 要记住。 如果你之前有类似的例子并且真的需要它们。
知道这些公式后，计算我们的极限变得非常简单：
下一个极限：
公式的归纳证明
公式的正确性可以通过归纳法来证明（至少在几年前这是高中标准）。 我将为以下公式做证明：
1. 
第一个归纳步骤
我们验证当 n=1 时公式的正确性：
没错
第二个归纳步骤
我们假设 假设，对于某个自然数 n：
第三个归纳步骤
我们证明 结论（利用假设），对于 n+1 公式也成立，即：
左边我们用假设中的公式代替 
，右边我们只是整理一下：
然后我们细致地操作，而不是粗暴地推导：
也就是说，结论得到了证明。 公式通过归纳法得到了证明。
我邀请你们用归纳法证明第二个公式，立方和：
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