反三角函数（讲座 – 视频）

反三角函数讲座

主题: 反三角函数

摘要

在这次讲座中，我将介绍反三角函数的概念：arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx。它们是三角函数的反函数。

讲座分为两个部分。第一部分我只是快速讲解如何计算反三角函数的值，不会深入探讨（这一部分附有视频，是我积分课程的一部分）。

第二部分我会更详细地描述反三角函数，展示它们的图像等等。

理解讲座需要具备以下知识：

• 三角函数（高中）

第一部分

反三角函数 – “速成版”

反三角函数简单来说就是三角函数的反函数。也就是说，arcsinx 是 sinx 的反函数。

所以如果我们知道 ，那就意味着 。

依此类推：

我们还有一些反三角函数的特性，这些特性使我们能够计算负数的值：

所以我们可以再计算这个：

因此，有了三角函数表，我们可以从中轻松确定反三角函数的值，只需反过来读取即可。

我在视频中详细解释了这一点：

视频中的三角函数基本值表 – 下载这里。

第二部分

反三角函数 – 完整版

引言 – 为什么第一部分还不够

看起来在第一部分中，我们将每个反三角函数定义为对应三角函数的反函数。

让我们正式一点。我们说，例如，函数 取值 ，当函数 从 得到的值为 。

同样地：

也就是说，如果我们想计算 ，我们会想，哪个角度的余弦是 ，然后得出这个角度是 ，结果是：。

这就涵盖了反三角函数的所有值吗？

当然不是。

让我们再用具体的数字重新推导一下（也许传统地换到 arcsinx 上）：

如果我们想计算 ，我们会想，哪个角度的正弦是 ，然后得出这个角度是 ，结果是：。

问题出在哪里？在加粗的部分：

如果我们想计算 ，我们会想，哪个角度的正弦是 ，然后得出这个角度是 ，结果是：。

不幸的是，不仅仅是角度 的正弦等于 。

让我们回顾一下 sinx 的图像（我在图上标出了值 ）：

我们知道并且在高中学过，正弦值为 不仅在角度 ，还有角度：

也就是说

让我们再次回顾一下计算 arcsin 的方法：

如果我们想计算 ，我们会想，哪个角度的正弦是 ，然后得出这个角度是 ，结果是：。

但现在我们已经知道，不只是 sin 等于 ，所以看起来：

这意味着 arcsinx 根本不是函数，因为一个自变量对应多个值！

如果是这样的话，就无法给出 arcsin 某个值的明确答案。

我们也很容易想象，类似的问题适用于所有三角函数。

更专业地说，这些函数不是单值函数，因此它们的逆函数不存在。对于每个三角函数，每个值都有无限多个自变量（它们是周期性的，对吗？），因此在尝试求出它们的逆函数时，每个自变量都会有无限多个对应值。而函数不可能这样。

怎么办？

这相当简单，如果不说粗陋的话。可以剪切每个三角函数，从而得到一个单值函数。

那么，让我们正确地定义所有 4 个反三角函数：

arcsinx

回顾一下 sinx 的图像：

如果我们约定将其剪切到 区间，我们将得到这样的图像：

不幸的是，这不是我们想要的，因为它仍然不是单值函数的图像，并且 的问题仍然存在：

因此，我们同意将 sinx 函数剪切到 区间：

现在这是一个单值函数，并且有它的反函数 arcsinx。

arcsinx 的图像大致如下：

它的定义域是 不存在。

因此，arcsinx 的精确定义是：

。

arccosx

cosx 函数也不是单值函数：

要得到单值函数，我们必须将其剪切到 区间：

这样定义的函数是单值的，并且有反函数 arccosx。

它的图像大致如下：

它的精确定义是：

。

arctgx

tgx 函数的图像如下：

这也不是单值函数！我们可以将其剪切如下：

这样我们就得到了单值函数。

arctgx 函数的图像如下：

它的精确定义是：

，对于 y\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)。

我们还注意到，从图像中可以看出一些有趣的性质，例如：

• arctgx 函数的定义域是整个实数集（我们可以计算任何数的 arctg）
• 
• 

arcctgx

从 ctgx 函数的图像：

我们剪切出单值部分：

arcctgx 函数的图像如下：

arcctgx 的精确定义是：

。

可以看到：

• arcctgx 函数的定义域是整个实数集（我们可以计算任何数的 arcctg）
• 
• 

注意

在许多计算器和一般数学表示法（尤其是西方）中，逆三角函数不是用“arcus”表示，而是用指数 -1。例如，arcsinx 写作 。如果知道这是什么意思，就没有问题。但是可能会犯一个严重的错误，将 sinx 的逆函数与 函数混淆 – 它与 arcsinx 是完全不同的函数。