反三角函数 (arcus) - 完整指南视频

反三角函数讲座

主题: 反三角函数

摘要

在这次讲座中，我将介绍反三角函数的概念：arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx。它们是三角函数的反函数。

讲座分为两个部分。第一部分我只是快速讲解如何计算反三角函数的值，不会深入探讨（这一部分附有视频，是我积分课程的一部分）。

第二部分我会更详细地描述反三角函数，展示它们的图像等等。

理解讲座需要具备以下知识：

三角函数（高中）

第一部分

反三角函数 – „速成版”

反三角函数简单来说就是三角函数的反函数。也就是说，arcsinx 是 sinx 的反函数。

所以如果我们知道，那就意味着。

依此类推：

我们还有一些反三角函数的特性，这些特性使我们能够计算负数的值：

所以我们可以再计算这个：

因此，有了三角函数表，我们可以从中轻松确定反三角函数的值，只需反过来读取即可。

我在视频中详细解释了这一点：

视频中的三角函数基本值表 – 下载这里。

第二部分

反三角函数 – 完整版

引言 – 为什么第一部分还不够

看起来在第一部分中，我们将每个反三角函数定义为对应三角函数的反函数。

让我们正式一点。我们说，例如，函数取值，当函数从得到的值为。

同样地：

也就是说，如果我们想计算，我们会想，哪个角度的余弦是，然后得出这个角度是，结果是：。

这就涵盖了反三角函数的所有值吗？

当然不是。

让我们再用具体的数字重新推导一下（也许传统地换到 arcsinx 上）：

如果我们想计算，我们会想，哪个角度的正弦是，然后得出这个角度是，结果是：。

问题出在哪里？在加粗的部分：

如果我们想计算，我们会想，哪个角度的正弦是 ，然后得出这个角度是 ，结果是：。

不幸的是，不仅仅是角度的正弦等于。

让我们回顾一下 sinx 的图像（我在图上标出了值）：

我们知道并且在高中学过，正弦值为不仅在角度，还有角度：

也就是说

让我们再次回顾一下计算 arcsin 的方法：

如果我们想计算，我们会想，哪个角度的正弦是 ，然后得出这个角度是 ，结果是：。

但现在我们已经知道，不只是 sin 等于，所以看起来：

这意味着 arcsinx 根本不是函数，因为一个自变量对应多个值！

如果是这样的话，就无法给出 arcsin 某个值的明确答案。

我们也很容易想象，类似的问题适用于所有三角函数。

更专业地说，这些函数不是单值函数，因此它们的逆函数不存在。对于每个三角函数，每个值都有无限多个自变量（它们是周期性的，对吗？），因此在尝试求出它们的逆函数时，每个自变量都会有无限多个对应值。而函数不可能这样。

怎么办？

这相当简单，如果不说粗陋的话。可以剪切每个三角函数，从而得到一个单值函数。

那么，让我们正确地定义所有 4 个反三角函数：

arcsinx

回顾一下 sinx 的图像：

如果我们约定将其剪切到区间，我们将得到这样的图像：

不幸的是，这不是我们想要的，因为它仍然不是单值函数的图像，并且的问题仍然存在：

因此，我们同意将 sinx 函数剪切到区间：

现在这是一个单值函数，并且有它的反函数 arcsinx。

arcsinx 的图像大致如下：

它的定义域是不存在。

因此，arcsinx 的精确定义是：

。

arccosx

cosx 函数也不是单值函数：

要得到单值函数，我们必须将其剪切到区间：

这样定义的函数是单值的，并且有反函数 arccosx。

它的图像大致如下：

它的精确定义是：

。

arctgx

tgx 函数的图像如下：

这也不是单值函数！我们可以将其剪切如下：

这样我们就得到了单值函数。

arctgx 函数的图像如下：

它的精确定义是：

，对于 $y\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$ 。

我们还注意到，从图像中可以看出一些有趣的性质，例如：

arctgx 函数的定义域是整个实数集（我们可以计算任何数的 arctg）

arcctgx

从 ctgx 函数的图像：

我们剪切出单值部分：

arcctgx 函数的图像如下：

arcctgx 的精确定义是：

。

可以看到：

arcctgx 函数的定义域是整个实数集（我们可以计算任何数的 arcctg）

注意

在许多计算器和一般数学表示法（尤其是西方）中，逆三角函数不是用“arcus”表示，而是用指数 -1。例如，arcsinx 写作。如果知道这是什么意思，就没有问题。但是可能会犯一个严重的错误，将 sinx 的逆函数与函数混淆 – 它与 arcsinx 是完全不同的函数。

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