Co To Jest Prawdopodobieństwo? Definicja Krok Po Kroku

Kłopot z definicją prawdopodobieństwa

Do XX wieku wszystkie definicje prawdopodobieństwa miały jakieś mankamenty.

• klasyczna (Laplace’a) – błąd logiczny w środku, działa tylko dla skończonych ilości możliwych rezultatów
• geometryczna – właściwie ten sam błąd logiczny, ogranicza do skończoności w pewnym sensie, różne dziwne paradoksy
• częstościowa (to już właściwie 1931 rok, jak ten czas leci…) – olbrzymie problemy w praktycznym zastosowaniu

Prawidłową i używaną powszechnie dzisiaj definicję podał w 1933 roku matematyk radziecki Andriej Kołmogorow i jej właśnie poświęcony będzie ten Wykład.

Definicja Kołmogorowa wymaga – niestety dla studentów – dużej ilości koncentracji i nie da się jej wytłumaczyć “w jednym zdaniu”. Mało kto tutaj wybiera drogę ZROZUMIENIA, większość wybiera łatwiejsze ścieżki WYKUCIA, albo nawet – co gorsza – ZIGNOROWANIA (żeby się nie wyrazić dosadniej).

A szkoda, bo po pierwsze, wiedzieć CO tak właściwie się robi to naprawdę fajne uczucie, a po drugie ta definicja jest wielkim skarbem i przynosi niewiarygodne korzyści. Okazuje się, że świat probabilistyki (prawdopodobieństwa) łączy się ze światem teorii mnogości, a nawet analizy matematycznej.

Czyli po przyjęciu tej definicji do rozwiązania problemów z teorii prawdopodobieństwa (a tych, jak się domyślasz, nie brakuje w świecie “rzeczywistym”) możesz stosować całą ciężką artylerię z innych dziedzin matematyki – działań na zbiorach, a nawet pochodnych i całek!

Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa

Definicję tą znajdziesz w każdej książce z prawdopodobieństwa, Wikipedii i w ogóle wszędzie.

Prawdopodobieństwo jest to funkcja, spełniająca pewne warunki (tzw. aksjomaty, jakie to warunki – niżej), przyporządkowująca pewnym zbiorom (te zbiory muszą też spełniać pewne warunki, a jakie to warunki – niżej) zdarzeń elementarnych – liczby.

W skrócie: prawdopodobieństwo to funkcja przyporządkowująca zbiorom zdarzeń elementarnych liczby.

Teraz powolutku omówię dokładnie wszystkie elementy użyte w tej definicji, zaczynając zupełnie od podstaw i od początku. Jak się dobrze przyjrzeć, to mam tu trzy elementy do omówienia:

• co to są te “zdarzenia elementarne” (Ω)
• jakie warunki muszą spełniać zbiory tych zdarzeń ( F)
• jakie warunki musi spełniać ta funkcja (P)

Zdarzenia elementarne tworzą zbiór Ω, funkcja (oznaczyłem ją jako P) jest określona na zbiorach należących do rodziny podzbiorów zbioru Ω (oznaczyłem tą rodzinę jako F) . Zarówno rodzina podzbiorów, jak i funkcja, muszą spełniać pewne warunki. Całość tworzy tzw. “trójkę probabilistyczną” (Ω, F,P).

Jadę po kolei i błagam Cię, nie spinaj się na tym, to naprawdę proste 🙂

1. Zdarzenia elementarne Ω

Zdarzenia elementarne to najprostsze (tzn. nierozkładalne już na inne) możliwe wyniki zdarzenia losowego.

Na przykład jeśli zdarzenie elementarne polega na rzucie monetą, to zdarzeniami elementarnymi mogą być: ORZEŁ i RESZKA (jeśli nie ma możliwości spadnięcia na krawędź na przykład). Zdarzenia ORZEŁ nie da się już “rozłożyć” na jakieś inne zdarzenia i o to chodzi.

Jeśli zdarzenie polega na przykład na rzucie kostką, to zdarzeniem elementarnym może być np. WYPADŁY DWA OCZKA. Zdarzeniem elementarnym natomiast nie będzie WYPADŁA PARZYSTA ILOŚĆ OCZEK – bo da się je rozłożyć na kilka innych zdarzeń (WYPADŁY DWA OCZKA, albo WYPADŁY CZTERY OCZKA, albo WYPADŁO SZEŚĆ OCZEK).

No i tyle.

Zwróć uwagę, że to pojęcie jest nieco “płynne” (ktoś mógł by się upierać: “a czemu niby nie może w ogóle spaść na tą krawędź?”) i NIE jest to ścisła, matematyczna definicja.

I tak ma właśnie być, bo pojęcia: “zdarzenie elementarne”, “zdarzenie losowe”, to w teorii prawdopodobieństwa pojęcia pierwotne. Pojęcia pierwotne w matematyce to takie obiekty, elementy, których się nie definiuje – bo przyjmuje się, że są tak oczywiste.

Na przykład w geometrii pojęciem pierwotnym jest punkt. Punkt nie ma definicji. Nie zrozum mnie źle, mi nie chodzi o to, że nie da się powiedzieć, co to jest punkt. Co byśmy jednak o punkcie nie powiedzieli, jak byśmy go nie opisali, będą to tylko pewne słowne opisy, a nie ścisłe, matematyczne definicje.

Oczywiście, przyjęcie czegoś za pojęcie pierwotne jest sprawą dosyć umowną i prowadzi często do paradoksów. Wtedy konieczne jest często “doprecyzowanie” tego pojęcia i wprowadzenie ścisłej definicji, omijającej owe paradoksy.  Jednak ona również opierać się będzie na innych pojęciach pierwotnych, bo tak już z definicjami po prostu musi być.

A dlaczego musi? No to już temat na zupełnie inną opowieść. Wracajmy do naszego prawdopodobieństwa.

Mam więc zdarzenia elementarne, czyli możliwe, najprostsze i nierozkładalne wyniki jakiegoś zdarzenia losowego. Wszystkie one razem tworzą jakiś zbiór (np. zbiór {WYPADŁO 1 OCZKO, WYPADŁY 2 OCZKA, WYPADŁY 3 OCZKA, WYPADŁY 4 OCZKA, WYPADŁO 5 OCZEK, WYPADŁO 6 OCZEK}).

Zbiór ten nazwę sobie np. grecką literką Ω.

Ten zbiór to pierwszy element definicji prawdopodobieństwa Kołmogorowa.

Drugi element definicji sprawia chyba studentom najwięcej kłopotów. Ale również nie jest trudny.

2. σ-ciało podzbiorów na zbiorze Ω

“Rodzina podzbiorów na jakimś zbiorze” składa się z jakiś jego podzbiorów.

Przykład

Zbiór A = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}

Jakaś przykładowa rodzina podzbiorów na tym zbiorze to:  F=\left\{ \left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ 1,2 \right\},\left\{ 3,4 \right\},\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \right\}(podzbiór złożony z elementu 1, podzbiór złożony z elementu 2, podzbiór złożony z elementów 1 i 2, podzbiór złożony z elementów 3 i 4, podzbiór będący całym zbiorem A).

Widać, że zbiór może mieć całkiem sporo swoich “rodzin podzbiorów’.

W definicji prawdopodobieństwa tym zbiorem, którego rodzinę podzbiorów wybieramy, jest zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω (patrz pierwsza część definicji). Rodzina jego podzbiorów nie może być jednak zupełnie dowolna, jaka nam tylko przyjdzie do głowy.

Musi ona spełniać pewne warunki, które spełniają podrodziny zwane σ-ciałami.

Dla zbioru Ω, rodzinę jego podzbiorów Fnazywa się σ-ciałem, gdy:

1. \varnothing \in F– należy do niej zbiór pusty
2. A\in F\Rightarrow {A}'\in F– dopełnienie każdego zbioru z rodziny także należy do rodziny (dopełnienie A to wszystkie elementy Ω, które nie należą do A)
3. {{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots \in F\Rightarrow \bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{{{A}_{n}}}\in F– sumy dowolnych zbiorów należących do rodziny także należą do rodziny

Przykład

Weźmy zbiór \Omega =\left\{ a,b,c \right\}

• Weźmy rodzinę jego podzbiorów  F=\left\{ \varnothing ,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},\left\{ c \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ a,b,c \right\} \right\}. Należy do niej zbiór pusty (warunek 1 spełniony). Dopełnienie jednak zbioru \left\{ a \right\}, czyli zbiór wszystkich elementów, które NIE należą do  \left\{ a \right\}i należą do Ω, to zbiór \left\{ b,c \right\}. Ten zbiór nie należy do rodziny podzbiorów F.
  Zatem ta rodzina podzbiorów nie jest σ-ciałem (ponadto suma zbiorów \left\{ b \right\}i \left\{ c \right\}nie należy do podrodziny – czyli nie jest spełniony także trzeci warunek).
• Weźmy rodzinę jego podzbiorów F=\left\{ \varnothing ,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},\left\{ c \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ b,c \right\},\left\{ a,c \right\}\left\{ a,b,c \right\} \right\}. Należy do niej zbiór pusty, dopełnienia wszystkich zbiorów i sumy wszystkich zbiorów ze sobą, Ta rodzina podzbiorów jest σ-ciałem.

Definicja σ-ciała podzbiorów zbioru Ω wygląda bardzo ciężko i matematycznie.

Jak się jednak zastanowić, łatwo ją przełożyć na “codzienność”.

Jesteśmy już bardzo blisko zdefiniowania prawdopodobieństwa, jako pewnej funkcji P. Funkcja ta przyporządkowywać będzie naszym podzbiorom z tego σ-ciała – liczby, oznaczające ich “prawdopodobieństwa”.

Było by więc trochę dziwne, gdybyśmy:

• nie mogli określić prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego (czyli określić prawdopodobieństwa zbioru pustego – warunek 1)
• mogli określić prawdopodobieństwo tego, że coś się zdarzy, ale nie mogli określić prawdopodobieństwa, że się nie zdarzy (warunek 2)
• mogli określić prawdopodobieństwa kilku zdarzeń, ale nie mogli określić prawdopodobieństwa, że zdarzy się któreś z nich (warunek 3)

Wszystkie warunki, jakie musi więc rodzina podzbiorów Ω w definicji prawdopodobieństwa są naprawdę potrzebne i dobrze uzasadnione.

Naszą rodzinę podzbiorów nazywać będę F.

Uwaga 1

Aby określić rodzinę F, czyli drugi element definicji potrzebuję pierwszego elementu, czyli zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych Ω.

Fskłada się z różnych podzbiorów Ω.

Uwaga 2

Fskłada się ze ZBIORÓW, a nie elementów. Czyli jej elementem jest na przykład: \left\{ a \right\}, a nie: a.

To naprawdę wielki bonus, bo pozwala nam to od tej pory działać na obiektach bardzo ściśle zdefiniowanych matematycznie – czyli zbiorach.  Zbiory można dodawać, odejmować, liczyć część wspólną i matematyka w tym momencie “wchodzi do gry”, co było by niemożliwe, gdybyśmy tylko ograniczyli się do zdarzeń, czyli elementów Ω (próbowałeś kiedyś dodać orła do reszki? Jaki miałeś wynik? 🙂 )

Z trzecim elementem “trójki probabilistycznej” nie ma już na ogół kłopotów.

3. Funkcja P:F\to R

Czyli mamy tutaj po prostu funkcję, która przyporządkowuje podzbiorom z F(drugiemu elementowi “trójki probabilistycznej”) – liczby. To liczby te (czyli wartości funkcji P) nazywa się potocznie “prawdopodobieństwami”.

Oczywiście funkcja ta musi również spełniać pewne warunki (widziałeś kiedyś prawdopodobieństwo czegoś równe -7?). Zwane one są także aksjomatami (bo przyjmuje się je bez dowodów):

Funkcja P:F\to Rjest funkcją prawdopodobieństwa, gdy:

1. P\left( A \right)\ge 0dla dowolnego A\in F
2. P(Ω)=1
3. {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}}\cup \ldots =P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+P\left( {{A}_{3}} \right)+\ldots – jeżeli zbiory {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},\ldots są parami rozłączne (tzn. nie mają części wspólnej, {{A}_{i}}\cap {{A}_{j}}=\varnothing dla i\ne j

Czyli liczby, które przyporządkowuje funkcja muszą być nieujemne (nie ma ujemnych prawdopodobieństw), prawdopodobieństwo tego, że wydarzy się jakieś zdarzenie z wszystkich możliwych równe jest 1 (zdarzenie pewne) i prawdopodobieństwa można sumować, jeśli zdarzenia/zbiory są rozłączne.

To wszystko, jeśli chodzi o prawdopodobieństwo

Wartości funkcji P możemy nazywać prawdopodobieństwami. Funkcja P przyporządkowuje je zbiorom z rodziny F. Zbiory z rodziny Fto podzbiory zdarzeń elementarnych ze zbioru Ω.

Całość tworzy trójkę probabilistyczną: (Ω, F,P). Zdefiniowanie prawdopodobieństwa z pominięciem któregoś z elementów trójki jest niestety niemożliwe (a ponoć próbowano).

Nie można przedstawić, czym jest P bez powiedzenia, czym jest F, a to jest niemożliwe, bez zdefiniowania Ω.

Niektóre definicje ze szkoły średniej przedstawiające P jako funkcję P:\Omega \to Rnie są poprawne, albo dotyczą starych definicji prawdopodobieństwa (tych z błędami logicznymi).

Obejrzyjmy więc naszą definicję w działaniu, na konkretnym przykładzie.

Przykład

Niech nasze zdarzenie polega na rzucie kostką sześciościenną. Przez ‘1’ rozumiem wyrzucenie jedynki itd.

1. Nasza przestrzeń zdarzeń elementarnych to:  \Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}
2. Nasze σ-ciało  Fto rodzina wszystkich możliwych podzbiorów Ω
3. Funkcja P określoną na Fniech przyjmuje wartość 0 dla \varnothing , wartość \frac{1}{6}dla każdego zbioru jedno-elementowego, \frac{2}{6}dla każdego zbioru dwu-elementowego,… itd. w końcu \frac{6}{6}=1dla każdego zbioru sześcio-elementowego (czyli całego zbioru Ω)

Całość tworzy jak najbardziej trójkę probabilistyczną, wszystkie warunki i aksjomaty są spełnione.

Mam nadzieję, że po uważnym przeczytaniu mojego Wykładu zrozumiałeś definicję prawdopodobieństwa Kołmogorowa – nie jest taka trudna, prawda? 🙂

Jeśli chciałbyś o coś się dopytać, albo coś nie jest dla Ciebie do końca jasne – bardzo zachęcam Cię do napisania komentarza pod tym Wykładem, na pewno pomoże to także innym.

Kliknij tutaj, aby powrócić na główną stronę z materiałami o prawdopodobieństwie