Екстремуми Функції Лекція 7
Тема: Достатня умова існування ек стремуму функції (зміна знаку похідної).
Зведення
Як з’ясувалося на попередній лекції, той факт, що похідна функції в точці дорівнює 0, не обов’язково означає, що сама функція досягає в цій точці екстремуму. Тут ми тому обговоримо, які умови достатні, щоб функція досягала екстремуму в якійсь точці.
Достатні умови існування екстремуму
Припустимо, що в певному оточенні точки x_0 функція f \left(x \right) має скінченну похідну f' \left( x \right):
- Якщо в цьому оточенні x_0 зліва від x_0 значення похідної функції є додатними, а справа від x_0 від’ємними – тоді функція приймає максимум в точці x_0
- Якщо в цьому оточенні x_0 зліва від x_0 значення похідної функції є від’ємними, а справа від x_0 додатними – тоді функція приймає мінімум в точці x_0
Дійсно, відповідно до Леми про монотонність функцій, введеної на попередній лекції, якщо похідна функції приймає додатні значення, це означає, що функція
Отже, якщо похідна
Похідна зліва від
Видно, що така зміна завжди означає існування максимуму в точці
КІНЕЦЬ
Пишучи цей пост, я користувався…
1. “Рахунок диференційний і інтегральний. Том I.” G.M. Фіхтенгольц. Вид. 1966.
Натисніть тут, щоб згадати необхідну умову існування екстремуму (попередня лекція) <–
Натисніть тут, щоб повернутися на сторінку з лекціями про дослідження перебігу змінності функцій