Достатня умова існування екстремуму функції

Екстремуми Функції Лекція 7

Тема: Достатня умова існування ек стремуму функції (зміна знаку похідної).

Зведення

Як з’ясувалося на попередній лекції, той факт, що похідна функції в точці дорівнює 0, не обов’язково означає, що сама функція досягає в цій точці екстремуму. Тут ми тому обговоримо, які умови достатні, щоб функція досягала екстремуму в якійсь точці.

Достатні умови існування екстремуму

Припустимо, що в певному оточенні точки x_0 функція f \left(x \right) має скінченну похідну f' \left( x \right):

  • Якщо в цьому оточенні x_0 зліва від x_0 значення похідної функції є додатними, а справа від x_0 від’ємними – тоді функція приймає максимум в точці x_0
  • Якщо в цьому оточенні x_0 зліва від x_0 значення похідної функції є від’ємними, а справа від x_0 додатними – тоді функція приймає мінімум в точці x_0

Дійсно, відповідно до Леми про монотонність функцій, введеної на попередній лекції, якщо похідна функції приймає додатні значення, це означає, що функція зростає. Якщо ж похідна приймає від’ємні значення, це означає, що функція зменшується.

Отже, якщо похідна “змінює знак”, це також означає зміну монотонності функції , наприклад, у випадку 1.

Похідна зліва від є додатною, а справа від’ємною. Це означає, що функція зростає зліва від і зменшується справа. Виглядати це має приблизно так:
Максимум - достатня умова існуванняНа вищенаведеному графіку ми бачимо графік функції (нагорі) та її похідної . Видно, що в “лівому” оточенні точки (позначено синім) похідна приймає додатні значення, а функція зростає. У “правому” оточенні точки (позначено червоним) похідна приймає від’ємні значення, а функція зменшується.

Видно, що така зміна завжди означає існування максимуму в точці .

КІНЕЦЬ

Пишучи цей пост, я користувався…

1. “Рахунок диференційний і інтегральний. Том I.” G.M. Фіхтенгольц. Вид. 1966.

Натисніть тут, щоб згадати необхідну умову існування екстремуму (попередня лекція) <–

Натисніть тут, щоб побачити іншу достатню умову існування екстремуму функції в точці (наступна лекція) –>

Натисніть тут, щоб повернутися на сторінку з лекціями про дослідження перебігу змінності функцій

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Ваш коментар буде доступний публічно на нашому сайті разом з вищезазначеним підписом. Ви можете змінити або видалити свій коментар в будь-який час. Адміністратором особистих даних, наданих у цій формі, є eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Правила обробки даних та ваші пов'язані з ними права описані в Політиці конфіденційності.