blog

Obliczanie granicy ciągu twierdzeniem o trzech ciągach (VIDEO)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Na tym filmiku pokazuję, jak obliczyć granicę ciągu zawierającego (-1)^n – przy użyciu twierdzenia o trzech ciągach:

Mając do policzenia granicę ciągu z (-1)^n w środku, na przykład:

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}

…możemy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

Ogólną metodę liczenia granic przy pomocy twierdzenia o trzech ciągach znajdziesz w moim Kursie Granic. W tym poście przedstawię tylko ten jeden, konkretny przypadek ciągu.

Przykład

Wiemy, że liczba (-1)^n będzie zawsze równa liczbie 1 (dla n parzystych), albo -1 (dla n nieparzystych). Prawdą jest więc, że jest zawsze mniejsza lub równa od 1 i większa lub równa od -1, prawda? Prawdziwe są więc nierówności:

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}<={lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}

Wyrażenie po prawej ma większy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n większe lub równe od wyrażenia w środku.

Wyrażenie po lewej ma mniejszy (lub równy) licznik od środkowego, więc całe jest dla dowolnego n mniejsze lub równe od wyrażenia w środku.

Teraz pokazujemy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu dążą do tej samej granicy (metodami wytłumaczonymi w Kursie Granic):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1+1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

{lim}under{n{right}{infty}}{n-1}/{4n-11}={lim}under{n{right}{infty}}{n(1-1/n)}/{n(4-11/n)}=1/4

Pokazaliśmy, że ciągi ograniczające z góry i z dołu nasz ciąg wyjściowy dążą do 1/4, stąd zatem prosty wniosek, że nasza granica ciągu, którą mamy policzyć równa jest 1/4 (bo tak nam “mówi” twierdzenie o trzech ciągach):

{lim}under{n{right}{infty}}{n+(-1)^n}/{4n-11}=1/4

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Skomentuj hania Anuluj pisanie odpowiedzi

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Krystian Karczyński pisze:

    Chodziło o coś takiego:

    limit as n \rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 to the power of n plus open parentheses negative 2 close parentheses to the power of n over denominator 3 squared end fraction

    ?

    Bo jeśli tak, to coś tu nie gra, ten ciąg jest rozbieżny, twierdzenie o trzech ciągach nie ma tu zastosowania…

  2. Monika pisze:

    Proszę o pomoc w obliczeniu granicy takiego ciągu przy wykorzystaniu twierdzenia o 3 ciągach: lim (2^n+ (-2)^n)/3^2. Dziękuję.

  3. Maciej pisze:

    Witam 🙂 Bardzo proszę o pomoc z taką granicą. Mam w polecaniu powiedziane ze musi to byc policzone metoda o 3 ciagach.
    i tak lim przy n –> nieskończoności dalej mam duzy pierwiastek stopnia (n+1) a pod pierwiastkiem n^3 + n^2 + n^1 +1 jest to zadanie z egzaminu
    pozdrawiam

  4. hania pisze:

    ups, przepraszam, nie wyszło 😉 Miała być granica przy n dążącym do nieskończoności i duży pierwiastek n-tego stopnia z 2^n + 2^(-n) +(cos n)^2

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Czyli chodzi o taką granicę: \underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{cos }^{2}}n}?

      No zasadniczo można pójść na łatwiznę… Z dołu nie ma problemu, prawda?

      \sqrt[n]{{{2}^{n}}}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{cos }^{2}}n}

      No i z góry też niewielki problem:

      \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{-n}}+{{cos }^{2}}n}=\sqrt[n]{{{2}^{n}}+\frac{1}{{{2}^{n}}}+{{cos }^{2}}n}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+1+1}\le \sqrt[n]{{{2}^{n}}+{{2}^{n}}+{{2}^{n}}}

      No i jesteśmy już w starym schemacie pokazanym w Kursie.

  5. hania pisze:

    Witam 🙂 Mam pytanie. Muszę obliczyć taką granicę: [latex]underset{n\to\infty}{\mathop{lim}},sqrt[n]{2^n + 2^(-n) + (cos n)^2}[/latex]
    wydaje mi się, że trzeba to obliczyć z twierdzenia o trzech ciągach. W takim razie jak to ograniczyć? Przez cosinusa mam wątpliwości 😛

  6. Paweł pisze:

    Witam 🙂 Mam pytanie a w zasadzie to prosiłbym o radę, mianowicie studiuje na Uniwersytecie Ekonomicznym i na matematyce w zasadzie nie omawialismy zbytnio Granic , zaś jedyne to co omówilismy to takie pojęcia jak :rachunek marginalny (krańcowy) oraz iloraz różnicowy.Na kazde z tych pojęć jest osobny wzór.I własnie chciałbym sie dowiedziec które lekcje z kursu Granice pownienem przerobic aby sie tego nauczyc , mam stosunkowo mało czasu i nie chciałbym się uczyć więcej niz jest mi potrzebne na kolokwium.Z góry dziękuje za odpowiedź

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, do tego to bardziej się przyda Kurs Pochodnych, ale ciężko będzie przełożyć pojęcia czysto matematyczne na ekonomiczne, a w Kursie jest tylko czysta matematyka…