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在高中时应该学好的几件事,但没人告诉你 – 第3部分:二次函数

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


这篇文章是第三篇,我想让你注意一下在大学数学学习开始时值得复习的事情。快速复习这些会让你的大学生活轻松很多。在之前的文章中,我讨论了以下主题:

绝对值的几何解释

量词

今天轮到二次函数。

二次函数?但是我们好像做了两个月…

二次函数的主题当然非常广泛,我的意思并不是要你拿起高中的课本,从头到尾把整个章节都过一遍。

我们只关注一些重要的细节,细微之处和陷阱。

二次函数与二次方程

二次函数当然是这样的东西:

或者:

其中 是任意数。二次函数的例子是:

等等…

二次函数的概念应该与二次方程的概念区分开,例如:

等等…

这不是同一回事!!!

二次函数,而 二次方程

在大学里经常会因为无法区分函数和方程而出现…

严重错误一

计算例如导数并给出一个函数时:

人们经常会做这样的事情:

…然后继续计算所需的内容。

他们这样做是因为记得可以在方程中这样做:

…在方程中一切正常,可以对两边同时除以 2,右边的 0 除以 2 确实为 0,方程是等价的(有相同的解)。

但是,这个操作不能在函数上进行——必须至少对左边的 y 进行除法等等。仅仅将函数值除以 2 会得到一个不同的函数!

需要复习的函数知识?

并不多。实际上只有两种形式的函数:标准形式和乘积形式。

二次函数的标准形式

我假设我们已经有了二次函数的通用形式:

它的标准形式是:

即:

什么是 a,b 和 这是众所周知的,几乎没有人对此有问题, 也一样。

我们甚至可以注意到,如果我们在标准形式中将 提出来,我们会得到:

…有时可能有用,有时则不然。

如果你学过这个,通过计算顶点坐标(通常是 )并代入公式:

这当然有点绕道,但也不错。

记住 在标准形式公式的开头!

二次函数的乘积形式(将其分解为因子):

现在回到我们的通用二次函数:

我们常常需要“将其分解为因子”,使用二次函数的乘积形式:

其中 我们使用已知和喜欢的公式计算:

在这里你也必须记住 在公式的开头!!!

还要注意,这些 并不总是存在(如果 Δ 是负的,则不存在),这意味着函数并不总是可以写成乘积形式,即二次函数并不总是可以分解为因子。

需要复习的二次方程知识?

关于二次方程,我猜情况不是很糟。我们通常可以解决一般方程:

例如:

我们只需要计算:

然后,如果 Δ 是非负的,解方程:

记住,在分母中有 而不仅仅是 2!

我想停下来讲一下特定的方程:

这里会发生很多错误。例如:

严重错误二

究竟是什么错误?数字 2 确实是方程 的解,但完全忽略了这个方程的第二个解,即数字 -2。应该是:

在几何中可以忽略负解(因为距离不能为负)。

方程形式的另一个问题: 是:

严重错误三

这当然是胡说八道,因为 2 的平方不是 -4。实际上,没有什么平方会得到 -4(那些已经学过复数的同学请保持安静)。方程:

…没有任何解。

所以要保持警觉。方程 有两个解,而方程 根本没有解。

我邀请大家冷静地复习到目前为止所说的所有内容,当然也欢迎在评论中提问。


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