函数的极限:x到x到x…怎么办?(有道德的例子)
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
作为一个趣闻,我将计算函数的极限:
比计算本身更有趣的是可以从中得出的两个教训。但教训在最后(有人见过开头就有教训的故事吗)? 现在我来计算:
一开始,我看看情况如何,然后我有:
也就是说,我不知道情况如何,因为我甚至不知道
然而,似乎余弦函数没有问题,所以我在旁边计算,看看单独情况如何:
我会使用洛必达法则 (我在我的课程中详细解释了这一点),也就是说,我会使用公式 (
但情况还是不好,因为在指数上还有未定义的符号
现在我可以放心地开始工作了。我在旁边计算:
也就是说,我在旁边计算出:
所以,回到极限:
我现在知道我处于这种情况:
也就是说,结果是:
所以整个极限是:
而余弦函数只是吓唬人而已。
这故事的教训
有两个。
- 在更难的极限中,总是可以而且有时必须取其一部分并计算其“在旁边”的趋势。
- 有时公式中的某些部分可能像这个余弦函数一样被添加进来。结果发现我不需要对它做任何处理,只需在最后代入零。
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