fbpx

Rząd macierzy

Rząd macierzy Wykład 1

Temat: Rząd macierzy – definicja

Streszczenie

W artykule przedstawię po prostu, co to jest rząd macierzy.

Wstęp – definicja wektora

Zanim przejdziemy sobie do samego pojęcia macierzy, powiemy sobie, czym jest wektor. Z wektorami spotkaliśmy się już w szkole średniej i być może na studiach przy okazji geometrii analitycznej. Tam oznaczały one przesunięcie na płaszczyźnie, np. – był to wektor oznaczający przesunięcie na osi OX o dwie jednostki w prawo, a na osi OY o cztery jednostki w dół. Wektory oznaczało się strzałkami. – był to wektor w przestrzeni trójwymiarowej, a jego współrzędne oznaczają przesunięcia po odpowiednich osiach. Również i jego można wyobrazić sobie jako strzałkę.

Rozszerzając jednak pojęcie wektora na więcej współrzędnych otrzymamy macierz jednowierszową, np. – jest to wektor 9-wymiarowy. Nie musi on oznaczać jakiegokolwiek geometrycznego przesunięcia (ruch w 9 wymiarach? – hmmm…), ale na przykład ceny w koszyku inflacyjnym, czy coś takiego.

Zapomnijmy więc o wektorach jako przesunięciach geometrycznych i umówmy się na nową definicję: wektor to macierz jednowierszowa (albo jednokolumnowa – to wszystko jedno).

Definicja wektorów zależnych i różnic

Jak już wiemy, co to jest wektor, możemy oszacować sobie, kiedy dwa (na początku) wektory są od siebie liniowo przetwarzane . Dwa wektory oznaczamy liniowo zależnymi , gdy istnieje taka liczba, że ​​po przemnożeniu przez tę samą jednego z wektorów są one równe, tzn.

Gdzie symbolem  oznaczamy wektor, a dziesięć dziwnych symboli:  to odwrócona literka “e” od angielskiego ” e xists”, czyli “istnieje”. czytamy więc: “istnieje k”.

Przykłady dwóch wektorów zależnych to:

Przykład

, bo wektor do wektora  jest przemnożony przez 2.

Geometryczna interpretacja prostej liniowej dwóch wektorów dwu albo trzy wymiarowych jest ich kierunkiem, tzn. wektory wykresów liniowych mają dziesięć sam kierunek, a różnią się tylko zwrotem lub długością.

Oczywiście nie ma mowy, żeby na przykład wektory: , czyli wektory przedstawiające różne wymiary (różną częścią elementów) były liniowo występujące. Nie należy tego przestrzegać, co po przemnożeniu zmienia wymiar macierzy, prawda?

Liniową zależność wektorów można określić jednak dla większej ich liczby. Definiujemy jej następującą treść:

Definicja

Wektory nazywamy się wektorami liniowo zależnymi , jeżeli istnieją takie stałe [ (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

Na odwrocie moglibyśmy stwierdzić, że dwa wektory są niezależne , jeśli NIE istnieją takie stałe (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

Geometryczna interpretacja liniowa wektorów trzywymiarowych jest ich „komplanarnością”, tzn. należeć do jednego członka. Trójwymiarowe wektory liniowo są komplanarne, tzn. należący do jednej strony.

Obliczanie linii liniowej wektorów

Nietrudno sobie wyobrazić, że zadanie następnego na określenie tego, czy wektory są liniowo funkcjonalne, czy niezależnie od równorzędnego jest męczące (a nawet męczące z równo). Na przykład dla wektorów czterowymiarowych:

Musielibyśmy sprawdzić, czy stan taki jest stały (takie, że co najmniej jedna z nich różna jest od zera), że:

Czyli (po przemnożeniu wektorów przez stałą):

Co jest równoważne układowi równań:

Układ równań do wykresów linii liniowej wektorów w zestawieniuTeraz trzeba sprawdzić, czy sprawdzić jakieś rozwiązania tego mechanizmu z powodu takiego błędu, że wszystkie równe są zero.

Długie, żmudne, niewygodne, prawda?

Rząd macierzysty

Tutaj dochodzimy właśnie do tego, czym jest rząd macierzyński. Jeśli wektory poukładamy (albo kolumnami – wszystko jedno) jeden pod drugim otrzymamy macierzystą, prawda? Na przykład dla naszych wektorów z przykładem powyżej była by:

Macierz złożona z wektorów z przykładu

Zdefiniujmy rząd macierzy:

Definicja

Rząd macierzysty do maksymalnej liczby liniowych współczynników wektorów wierszami (lub kolumnami) tej macierzy.

Obliczanie współczynnika macierzy jest już o wiele, wiele różnych niż szarpanie z równym (jak to dokładnie zrobić, wykonanie jest na przykład w moim Kursie Macierzy). Interpretacja pochodzenia jest prosta. Jeżeli rząd tej macierzy po obliczeniu równy był 3, oznacza to, że w tych wektorach są tylko 3 linie niezależne od siebie, czyli ta czwórka jako całość jest liniowo niezależna.

Tak się jednak składa, że:

Rząd macierzysty z przykładu

Czyli że rząd tej macierzy jest równe cztery. Mamy więc cztery wektory, których 4 są niezależne. Oczywisty wniosek jest taki, że te wektory są niezależne .

Kliknij, aby zobaczyć, jak sprawdzić badanie krwi do sprawdzenia, czy wektory sprawdzenia dowodu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby pobrać na stronę z Wykładami do macierzy

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.