fbpx

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Wzory na pochodne

Temat: Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Zastosowanie twierdzenia do wyprowadzenia kilku wzorów na pochodne.

Streszczenie

Na wykładzie zapoznamy się z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej, udowodnimy je i zobaczymy, jak zastosować do wyznaczenia różnych wzorów na pochodne, wykazanie których bez tego twierdzenia (na przykład bezpośrednio z definicji, jak na poprzednim wykładzie) było by, ostrożnie pisząc – ciężkie.

Niestety przed zaatakowaniem twierdzenia wypadało by wiedzieć, co to jest funkcja odwrotna, dlaczego funkcją odwrotną do jest funkcja i dlaczego musimy się ograniczyć w tym przypadku do przedziału argumentów na przykład 

Wyprowadzanie wzorów przy pomocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej jest dosyć częstym zadaniem z analizy matematycznej na studiach, także wykład może Ci się przydać w uczelnianych bojach.

Twierdzenie i dowód podaję korzystając z książki Fichtenholz’a, rozszerzając, zawężając, poprawiając literówki i przerabiając w paru punktach.

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja   posiada funkcję odwrotną , oraz w punkcie ma skończoną i różną od zera pochodną , wtedy w odpowiadającym  punkcie istnieje pochodna funkcji odwrotnej  i jej wartość w punkcie równa jest .

Niezrozumiały ciąg znaczków? Na początku bardzo możliwe, że tak, wgryźmy się więc w to twierdzenie przy pomocy dwóch prostych, konkretnych przykładów.

Przykład 1

Jeżeli funkcja  posiada funkcję odwrotną ,

1. Weźmy funkcję w przedziale

2. Funkcja odwrotna do niej istnieje równa jest – nie tłumaczę już dlaczego i po co te zastrzeżenie z przedziałem x, sorry…

oraz w punkcie ma skończoną i różną od zera pochodną ,

3. Weźmy punkt . Pochodna funkcji istnieje () i w punkcie jej wartość jest różna od zera ().

wtedy w odpowiadającym punkcie

4. Odpowiadający punktowi punkt jest to odpowiadająca punktowi wartość funkcji , czyli .

Zatem w naszym przykładzie:

istnieje pochodna funkcji odwrotnej

5. Rzeczywiście, funkcja odwrotna jest , jej pochodna równa jest: (z podstawowych wzorów na pochodne) i w punkcie istnieje jak najbardziej i jest równa:

i jej wartość w punkcie równa jest .

6. Rzeczywiście, obliczona w punkcie 5. jest równa:

( – obliczyłem to w punkcie 3.)

Czyli Twierdzenie “działa” 🙂

Przykład 2

Jeżeli funkcja  posiada funkcję odwrotną ,

1. Weźmy funkcję wykładniczą

2. Funkcja odwrotna do niej istnieje równa jest – to było w średniej, nie tłumaczę również (funkcje logarytmiczna i wykładnicza to funkcje odwrotne)

oraz w punkcie ma skończoną i różną od zera pochodną ,

3. Weźmy punkt . Pochodna funkcji istnieje ( – podstawowe wzory na pochodne) i w punkcie jej wartość jest różna od zera ().

wtedy w odpowiadającym punkcie

4. Odpowiadający punktowi punkt jest to wartość funkcji w punkcie , czyli .

Czyli:

istnieje pochodna funkcji odwrotnej 

5. Rzeczywiście, funkcja odwrotna jest , jej pochodna równa jest:   (z podstawowych wzorów na pochodne). W punkcie pochodna istnieje i jest równa:

i jej wartość w punkcie równa jest .

6. Rzeczywiście, obliczona w punkcie 5. jest równa:

( – obliczyłem to w punkcie 3.)

Czyli Twierdzenie znowu “działa” 🙂

Dowód Twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej

Udowodnimy to twierdzenie, odwołując się do interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji w punkcie. Jak pamiętamy, wartość pochodnej funkcji w punkcie jest to tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Na wykresie wyglądało by to tak:

Wykres pochodnej funkcji w punkcieWartość pochodnej w punkcie zdefiniowaliśmy na wcześniejszych wykładach jako tangens kąta

Zauważmy teraz ciekawą rzecz: wykres funkcji odwrotnej do można przedstawić na dokładnie tym samym wykresie, tylko, że należy pamiętać, iż czyta się go “na odwrót” – tzn. jakby argumentom y przyporządkowujemy wartości x (a więc przyrostem argumentów funkcji odwrotnej jest , a przyrostem odpowiadających jej wartości jest ):

Wykres pochodnej do funkcji odwrotnej w punkcieZauważmy, że wartość pochodnej tej funkcji odwrotnej w punkcie równa jest:

Widać więc, że wartość pochodnej z funkcji i wartość pochodnej jej funkcji odwrotnej to tangensy kątów w tym samym trójkącie prostokątnym.

A takie tangensy kątów w trójkącie prostokątnym (jak pamiętamy ze szkoły średniej) związane są zależnością:

Czyli (po obustronnym podzieleniu przez  ):

A z tego wynika wniosek naszego twierdzenia, czyli:

🙂

KONIEC DOWODU

Wyprowadzania wzorów na pochodne przy wykorzystaniu twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej

Przykład 3

Wyprowadź wzór na pochodną funkcji .

Wzór, który mamy wyprowadzić, to: .

Nasza funkcja f(x) jest to funkcja arccosx. Funkcja odwrotna do niej to funkcja . Pochodna z funkcji odwrotnej to .

Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie :

Czyli w dowolnym punkcie :

Po przekształceniu:

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyprowadzić, że: , czyli mamy:

Teraz uwaga: jest to wartość funkcji w punkcie , czyli . Zatem:

 – bo cosinus i arcus cosinus to funkcje odwrotne, mamy więc:

 w dowolnym punkcie (spełniającym oczywiście warunki z dziedziną, co zaniedbałem), zatem nasz wzór  został w ten sposób wykazany.

Przykład 4

Wyprowadź wzór na pochodną funkcji .

Wzór, który mamy wyprowadzić, to: .

Nasza funkcja f(x) jest to funkcja arctgx. Funkcja odwrotna do niej to funkcja . Pochodna z funkcji odwrotnej to .

Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie :

Czyli w dowolnym punkcie :

Po przekształceniu:

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy przekształcić to dalej:

Teraz uwaga: jest to wartość funkcji w punkcie x subscript 0, czyli . Zatem:   – bo tangens i arcus tangens to funkcje odwrotne, mamy więc:

w dowolnym punkcie (spełniającym oczywiście warunki z dziedziną, co zaniedbałem), zatem nasz wzór  został w ten sposób wykazany.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, jak wyprowadzać wzory na pochodne z definicji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby zobaczyć, jak wykazać można własności pochodnych (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę główną z wykładami o pochodnych

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. behindcloseddoors pisze:

    A co z arcctg x ? Próbuje cały czas ale nie wychodzi /;

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Wyprowadzenie wzoru na na pochodną funkcji f(x)=arcctg(x) będzie bardzo podobne to zamieszczonej w artykule pochodnej funkcji arctgx.

      Wzór, który mamy wyprowadzić, to: \displaystyle \left( {arcctgx} \right)’=-\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}

      Nasza funkcja f(x) jest to funkcja arcctgx. Funkcja odwrotna do niej to funkcja \displaystyle {{f}^{{-1}}}(x)=ctgx. Pochodna z funkcji odwrotnej to \displaystyle \left( {{{f}^{{-1}}}(x)} \right)’=\left( {ctg x} \right)’=-\frac{1}{{{{{sin }}^{2}}x}}(to wiem z podstawowych wzorów na pochodne).

      Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie \displaystyle {{y}_{0}}równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie \displaystyle {{x}_{0}}:

      \displaystyle ({{f}^{{~-1}}}({{y}_{0}}))’=\frac{1}{{f'({{x}_{0}})}}

      Czyli w dowolnym punkcie \displaystyle {{x}_{0}}:

      \displaystyle -\frac{1}{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}=\frac{1}{{f'({{x}_{0}})}}

      Po przekształceniu:

      \displaystyle f'({{x}_{0}})=-{{sin }^{2}}{{y}_{0}}=-\frac{1}{{\frac{1}{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}}}

      Korzystając z jedynki trygonometrycznej mogę przekształcić to dalej:

      \displaystyle f'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{\frac{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}+{{{cos }}^{2}}{{y}_{0}}}}{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}}}=-\frac{1}{{\frac{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}+\frac{{{{{cos }}^{2}}{{y}_{0}}}}{{{{{sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}}}=-\frac{1}{{1+{{{ctg }}^{2}}{{y}_{0}}}}

      Wracając do pierwotnego rozwiązania:

      \displaystyle {{y}_{0}}jest to wartość funkcji f(x)=arcctgx w punkcie \displaystyle {{x}_{0}}, czyli \displaystyle {{y}_{0}}=arcctg {{x}_{0}}.

      Zatem: \displaystyle ctg {{y}_{0}}=ctg (arcctg ({{x}_{0}}))={{x}_{0}}– bo cotangens i arcus cotangens to funkcje odwrotne, mam więc:

      \displaystyle f'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{{{{({{x}_{0}})}}^{2}}+1}}w dowolnym punkcie \displaystyle {{x}_{0}}(spełniającym oczywiście warunki z dziedziną).

      Zatem mam ostateczny wynik, zgadzający się z pierwotnym założeniem:
      \displaystyle \left( {arcctg x} \right)’=-\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}

  2. pietrek pisze:

    Zastanawiam się jak zrobić coś takiego: Dla funkcji dwóch zmiennych f(x,y) podać \interpretację równości fy'(5,3)=4. Wydaje mi się to banalnie proste, a z drugiej strony nie wiem jak się do tego zabrać. W miarę możliwości proszę o pomoc. Pozdrawiam.

  3. jmisiak@go2.pl pisze:

    Wykład był boski. Studenta 50+ nauczyłeś pochodnych funkcji odwrotnych. Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, pozdrawiam.

  4. Anonim pisze:

    hmm a ja nadal nie rozumiem