fbpx

Rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej

W tym artykule przedstawię metodę rozwiązywania układów równań liniowych, zwaną “metodą macierzy odwrotnej”. Można ją śmiało dołączyć do znanych metod: Cramera, Kroneckera-Capellego (ta stanowi właściwe przejście na metodę Cramera) i Gaussa.

Zastrzegamy od razu, że metodę macierzy odwrotnej można stosować tylko w układach równań liniowych Cramera, tzn. takich, w których:

  1. Jest tyle samo równań, co niewiadomych
  2. Wyznacznik główny układu (złożony ze współczynników przy zmiennych) jest różny od zera

1. Przypadek ogólny

Na czym polega metoda? Weźmy układ równań, spełniający powyższe założenia:

Układ równań liniowych

Układ ma tyle samo równań, co niewiadomych (n równań i n niewiadomych), a jego wyznacznik główny jest różny od zera:

Wyznacznik główny układu

Powyższy układ równań można zapisać jako mnożenie następujących macierzy:

Układ równań w postaci macierzowej

Nie wierzysz? Sprawdź sam, mnożąc sobie w odpowiedniej tabelce macierze

Macierz główna układu i Macierz niewiadomych:

Mnożenie macierzy

Po przemnożeniu pierwszego wiersza przez pierwszą (i jedyną, oczywiście) kolumnę otrzymamy:

 – a więc dokładnie lewą stronę pierwszego równania, która powinna być równa . Tak samo będzie w kolejnych wierszach i widać, że nasz układ równań i równanie macierzowe są równoważne. Wracamy więc do równania macierzowego:

Układ równań w postaci macierzowej

Aby go rozwiązać, mnożymy go obustronnie przez Macierz odwrotne (macierz odwrotną) – tak, jak to się standardowo robiło w równaniach macierzowych:

Mnożenie obustronne przez macierz odwrotną

Zwracamy uwagę, że mnożymy obie strony, ale od strony lewej, bo macierz współczynników jest po lewej stronie macierzy niewiadomych. Macierz odwrotna będzie istnieć, bo jej wyznacznik jest różny od zera, co zapewniliśmy sobie w założeniach (to jest układ Cramera). Wychodzimy więc na:

Przekształcone równanie macierzowe

Teraz pozostaje nam już tylko wyliczyć macierz odwrotną: Macierz odwrotna,
przemnożyć ją przez macierz: Macierz wyrazów wolnych
…i otrzymamy macierz wynikową:
Macierz niewiadomych , a z niej już trzeba tylko zapisać odpowiedź 🙂

2. Przykład

Weźmy konkretny układ równań liniowych:

open curly brackets table row cell 4 x minus 2 y plus z equals negative 4 end cell row cell 8 x minus y plus z equals negative 2 end cell row cell x plus 3 y minus z equals 6 end cell end table close

Na początku zapisujemy postać macierzową tego układu: open square brackets table row 4 cell negative 2 end cell 1 row 8 cell negative 1 end cell 1 row 1 3 cell negative 1 end cell end table close square brackets open square brackets table row x row y row z end table close square brackets equals open square brackets table row cell negative 4 end cell row cell negative 2 end cell row 6 end table close square brackets

Zauważmy, że w macierzy pierwszej od lewej są współczynniki przy zmiennych układu, potem jest macierz niewiadomych (jednokolumnowa), a po prawej stronie macierz wyrazów wolnych. Teraz wystarczy rozwiązać to równanie tak jak się rozwiązuje równania macierzowe, tzn.:

open square brackets table row 4 cell negative 2 end cell 1 row 8 cell negative 1 end cell 1 row 1 3 cell negative 1 end cell end table close square brackets open square brackets table row x row y row z end table close square brackets equals open square brackets table row cell negative 4 end cell row cell negative 2 end cell row 6 end table close square brackets space space space space divided by times for L of open square brackets table row 4 cell negative 2 end cell 1 row 8 cell negative 1 end cell 1 row 1 3 cell negative 1 end cell end table close square brackets to the power of negative 1 end exponent open square brackets table row x row y row z end table close square brackets equals open square brackets table row 4 cell negative 2 end cell 1 row 8 cell negative 1 end cell 1 row 1 3 cell negative 1 end cell end table close square brackets to the power of negative 1 end exponent open square brackets table row cell negative 4 end cell row cell negative 2 end cell row 6 end table close square brackets

Potem policzyć macierz odwrotną: open square brackets table row 4 cell negative 2 end cell 1 row 8 cell negative 1 end cell 1 row 1 3 cell negative 1 end cell end table close square brackets to the power of negative 1 end exponent

powinna nam wyjść: Wynik macierzy odwrotnej

i przemnożyć ją przez: open square brackets table row cell negative 4 end cell row cell negative 2 end cell row 6 end table close square brackets

…powinniśmy wtedy wyjść na wynik:

open square brackets table row x row y row z end table close square brackets equals open square brackets table row 0 row 2 row 0 end table close square brackets

Pozostaje teraz już tylko zapisać odpowiedź:

Odp. open curly brackets table row cell x equals 0 end cell row cell y equals 2 end cell row cell z equals 0 end cell end table close.

3. Podsumowanie

Metoda macierzy odwrotnej ma zaletę polegającą na tym, że żeby się jej nauczyć nie potrzebujesz zbyt wielu nowych wiadomości oprócz umiejętności liczenia macierzy odwrotnych i rozwiązywania równań macierzowych.

Jej wadą jest natomiast duża żmudność obliczeń i ograniczenie do układów Cramera.

Układy równań, które mają więcej niż trzy równania i niewiadome wymagają obliczenia macierzy odwrotnych większych, niż  wymiaru. Wymaga to zastosowania innej niż liczenie z macierzy dopełnień metody. Jest to:

Metoda Gaussa-Jordana obliczania macierzy odwrotnej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak rozwiązywać układy równań liniowych z parametrem (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Patrycja pisze:

    A czy w macierzy odwrotnej nie powinno być -2 (na pozycji 11)?

    (-1)^2 pomnożone przez wyznacznik czyli -2 = 1* (-2) = -2

    1. Dzięki za czujność, ale dobrze jest.

      We wzorze na macierz odwrotną mnoży się jeszcze na początku przez fraction numerator 1 over denominator d e t A end fraction. Cały wzór jest taki:

      A to the power of negative 1 end exponent equals fraction numerator 1 over denominator d e t A end fraction open parentheses A to the power of D close parentheses to the power of T

      U nas d e t A equals negative 1, czyli transponowaną macierz dopełnień mnoży się jeszcze przez -1, co zmieni znak z negative 2 na 2.

       

  2. Tomasz pisze:

    Witam Mam problem z zadaniem o treści :Podaj liczbę rozwiązań następującego układu równań w zalezności od parametru:a-alfaax+y+2z=1x+ay+2z=qx+y+2az+1Pomógłby mi ktoś ? Z góry dziękuje 🙂

    1. Tomasz pisze:

      Źle sie sformatowało. Powinno wyglądać takax+y+2z=1. x+ay+2z=1.x+y+2az=1.

  3. Agata pisze:

    Jak pomnożyć macierz 1×1 (tutaj {{4}{-2}{6}} z macierzą 3×3? Chodzi mi o ten moment prawie na samym końcu przykładu 2, kiedy mamy już zrobioną macierz odwrotną i mnożymy ją przez ww 1×1?

    1. Agata pisze:

      Już wiem, chwilowe zaćmienie umysłu, wszystko się zgadza. Przepraszam, za wprowadzenie zamieszania!

  4. ewel pisze:

    jakie są zasady zapisu wektora (15, 28, 18) jako [-15, 28, 18] = 4[1, 2, 3] + 5 [-3, 4, 2] – 4[1, 0, 1].

    treść zadania :

    Znajdź współrzędne wektora [-15, 28, 18] w bazie złożonej z wektorów: [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1].

    Wektor [-15, 28, 18] zapisujemy jako:

    [-15, 28, 18] = 4[1, 2, 3] + 5 [-3, 4, 2] – 4[1, 0, 1].

    A zatem współrzędnymi wektora [-15, 28, 18] w tej bazie są liczby [4, 5, – 4].

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jak rozumiem, współrzędnych [4, 5, – 4] nie mamy danych na początku zadania, tylko mamy je dopiero policzyć.

      Tworzymy równość, wyrażając wektor [15,28,18] przy pomocy sumy wektorów z bazy przemnożoną przez jakieś niewiadome stałe:

      [-15,28,18]=\alpha \left[ 1,2,3 \right]+\beta \left[ -3,4,2 \right]+\gamma \left[ 1,0,1 \right]

      [-15,28,18]=\left[ \alpha ,2\alpha ,3\alpha \right]+\left[ -3\beta ,4\beta ,2\beta \right]+\left[ \gamma ,0,\gamma \right]

      [-15,28,18]=\left[ \alpha -3\beta +\gamma ,2\alpha +4\beta ,3\alpha +2\beta +\gamma \right]

      Aby wektory po lewej i prawej były równe, muszą zachodzić równości (układ równań):

      \{ \begin{matrix}
      & -15=\alpha -3\beta +\gamma \\
      & 28=2\alpha +4\beta \\
      & 18=3\alpha +2\beta +\gamma \end{matrix}

      Układ ten rozwiązać można np. wzorami Cramera (daruję już to sobie i podam od razu rozwiązanie):

      \{ \begin{matrix}
      & \alpha =4 \\
      & \beta =5 \\
      & \gamma =-4 \end{matrix}

      Zatem zachodzi równość:

      [-15,28,18]=4\left[ 1,2,3 \right]+5\left[ -3,4,2 \right]-4\left[ 1,0,1 \right]

      Odp. Wektor [-15,28,18]w bazie złożonej z wektorów [1,2,3], [-3,4,2], [1,0,1]miałby współrzędne [4,5,-4].

  5. Mariusz pisze:

    Każdy układ równań liniowych można sprowadzić do układu Cramera , więc to nie jest jakieś tam ograniczenie