fbpx
blog

Granice funkcji liczone twierdzeniem o trzech funkcjach [REMASTERED]

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Analogia z twierdzeniem o trzech ciągach

Odpowiednikiem twierdzenia z granic ciągów, zwanego “twierdzeniem o trzech ciągach” w granicach funkcji jest “twierdzenie o trzech funkcjach”. Leci ono zupełnie analogicznie: jeżeli mamy jakąś funkcję, ograniczoną z góry i z dołu przez jakieś inne funkcje (ograniczoną, tzn. że ich wartości są odpowiednio większe lub mniejsze od wartości tej funkcji) i te funkcje z góry i z dołu zbiegają do tej samej granicy w punkcie lub nieskończoności – to funkcja ta również zbiega do tej granicy w tym punkcie lub nieskończoności.

Zamotane? Dlatego właśnie wynaleziono zapis matematyczny, tam wygląda to prościej, spójrz:

Założenia:

Założenia ogólne twierdzenia o trzech funkcjachW prostokąciku może być liczba, do której dążą x, albo nieskończoność z dowolnym znakiem.

Teza:

Teza ogólna twierdzenia o trzech funkcjachPamiętamy z ciągów? Pamiętamy na pewno…:)

Jak liczy się więc granicę funkcji korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach?

Najpierw znajdujesz odpowiednie oszacowanie z góry i z dołu, później liczysz granice z tych oszacowań, pokazując, że są sobie równe i skończone, trzeba już tylko napisać ładną odpowiedź.

Przykład

Granice z sinusami i cosinusami szacujemy standardowo jedynką, korzystając z faktu, że cosinus/sinus czegokolwiek jest zawsze mniejszy lub równy od 1 i większy lub równy od -1. Prawdziwa jest więc nierówność:

Oszacowanie funkcjiczyli:

Uporządkowane oszacowanie funkcjiTeraz liczmy granice oszacowań z góry i z dołu (a właściwie nie liczymy, bo są bardzo proste…):

Wyszły takie same (i o to chodzi). Zatem piszemy już tylko odpowiedź:

Odp. Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:


P.S.

Poniżej, zmieniając “przybliżenie” (otoczenie punktu x_0 = 0 , czyli przy x\to 0 ) możecie sprawdzić, jak funkcje ograniczające x^2 ( 4-1 ) i x^2 ( 4+1 ) ograniczają wykres funkcji z przykładu, czyli x^2 ( 4+\cos\frac{1}{x} ) :

https://www.wolframcloud.com/obj/df8983aa-9d4f-4689-a796-7b16ec7e6252

Bestsellery

Kurs Matura Rozszerzona (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: mgr inż. Anna Zalewska

59,00 

Kurs Prawdopodobieństwo

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Mechanika - Statyka

Studia / Autor: mgr inż. Adam Kasprzak

39,00 

Kurs Macierze

Studia / Autor: mgr Krystian Karczyński

39,00 

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Paula pisze:

    Witam.Jak będzie wyglądało rozpisanie tego przykładu, arctg nie wiem czy zapisac raz jako -5*pi/4 i raz +5*pi/4?lim ((-1)^(2n+5)*n^2+5*arctg(3+n))/(2*n^2+(-1)^n*n), n->infinity

  2. Lesio pisze:

    Kiedy twierdzenie o trzech funkcjach, a kiedy twierdzenie o dwóch funkcjach wystarczy do rozwiązania zadania? Jak stosować twierdzenie o dwóch funkcjach? Zgadywać kiedy pasuje tw o dwóch a kiedy o trzech?

  3. Michał pisze:

    witaj! mam problem z całka a mianowicie Całka xe^-x dx oraz pochodną f(x)=(2x)^(3x) w obu przypadkach jest do potęgi w pierwszym przypadku jest tylko -x w potędze a w drugim 3x jest całe w potędze z góry dziekuje 🙂

  4. Piotr pisze:

    Witam. A pomógłby mi ktoś z tym przykładem? Lim x-> niesk (x- sin3x)/(2x+sin4x) właśnie z tw. o 3 funkcjach. z Góry dzięki 🙂

  5. tyr pisze:

    Strasznie to głupawo uproszczone i ignoranckie. W twierdzeniu o 3 funkcjach tak się składa że można przyjąć że zachodzi nierówność w dowolnym otoczeniu, w którym to otoczeniu mamy policzyć granicę- i funkcje w tym punkcie są zbieżne do g, wtedy środkowa funkcja jest do tego zbieżna; przy czym nierówność zachodzić może tylko w małym przedziale.

    Oczywiście zupełnie nic o tym nie ma, nie ma nawet jasno napisane przy x dążącym do nieskończoności, czy nierówność zachodzić ma od pewnego momentu, czy dla wszystkich x z dziedziny funkcji- krótko mówiąc strasznie głupawo nieskładnie i niedopowiedzianie; pokazane w pseudoprosty sposób pomijając wiele ważnych ścisłych spraw teoretycznych.

  6. Magdalena pisze:

    Moja kolezanka kupila panski kurs. Razem rozwiazywałysmy zadania. Po drodze natknelam sie na pewne przeszkody. Dlaczego no w takim wyrazeniu : tgx – sinx/ x^3 nie stosujemy twierdzenia na 3 ciągi?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam,

      Rozumiem, że chodziło Pani o twierdzenie o trzech funkcjach (a nie ciągach), prawda?

      A skąd taki pomysł, żeby akurat w tej granicy zastosować twierdzenie o trzech funkcjach?

  7. Krystian Karczyński pisze:

    Pytanie dobre, ale odpowiedź niestety z konieczności gorsza.

    Nie ma jakiegoś “złotego środka”, reguły, zasady, tabelki z możliwościami. Do każdego przypadku trzeba podchodzić indywidualnie.

    Standardowe przypadki to sinus i cosinus, oraz [pmath](-1)^n[/pmath] ,a w pozostałych trzeba po prostu… kombinować. Niestety.

  8. Krystian Karczyński pisze:

    Dzięki, pewno, że nie jest trudna 🙂

  9. Krzysztof pisze:

    Dzięki Wielkie Panie Krystianie:)

    Wyrazy szacunku dla Pana. (szkoda że nie Pan nie jestem moim sorem od Matematyki, Wtedy matem była by taka prosta i piękna a nie to co teraz:(

    Ale dobrze że jest Pan i Pana posty i filmiki:) Bardzo mi pomagają w pojęciu matem. która jak jest dobrze wyłożona wcale nie jest trudna:D:D:D