Wzory na pochodne

 

Wzory na pochodne

 

Temat: Wzory na pochodne – wprowadzenie. Wyprowadzenie wzoru na pochodną z funkcji potęgowej.

 

Streszczenie

Na wykładzie pokażę, w jaki sposób wyprowadzać wzory na pochodne i sam wyprowadzę wzór na pochodną funkcji potęgowej :)

Wyprowadzanie wzorów na pochodna – ogólna metoda postępowania

Wzory na pochodne zawarte tablicach, podawanie na wykładach, ćwiczeniach nie wzięły się z kosmosu. Pochodna z funkcji f(x) w punkcie x_0, jak wiemy z poprzednich wykładów to pewnego rodzaju granica funkcji, mianowicie:

f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}

Aby wyprowadzić ogólny wzór na pochodną w dowolnym punkcie (bez ograniczania się do tylko do punktu x_0) wystarczy więc obliczyć ogólną granicę…

f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}

…której wynik oznaczać będzie wartość pochodnej w punkcie x. Rozwiązując powyższą granicę otrzymamy wzór na pochodną funkcji f(x).

Przykład 1 – wzór na pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem naturalnym

Chyba najczęściej używanym wzorkiem na pochodną, jest wzór na pochodną z funkcji potęgowej: f(x)=x^n:

(x^n){prime}=nx^{n-1}

Wyprowadźmy go. Sprawdzimy, skąd się wziął :)

Na początku załóżmy, że liczba ‚n’ jest liczbą naturalną. Dowolną. Nie ograniczamy się więc tylko do jednej funkcji. Nasze funkcje, których pochodną mamy wyprowadzić były by to na przykład: x^2,x^3,x^10,... i każdą z nich „obejmujemy” jakby tym wzorem.

Pochodna z funkcji f(x)=x^n wyglądać będzie (z definicji pochodnej – bo jaki wynik mamy dostać na końcu to już wiemy z tablic) tak:

f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}

Teraz zastanówmy się chwilkę. f(x)=x^n – ten wzór oznacza, że każdemu argumentowi funkcji przyporządkowujemy wartość równą temu argumentowi podniesionemu do n-tej potęgi. Ile więc równa będzie f(x+{Delta}x)=?. Konsekwentnie – funkcja f przyporządkowuje każdemu argumentowi ten argument podniesiony do n-tej potęgi, otrzymamy więc: f(x+{Delta}x)=(x+{Delta}x)^n.

Wracając do naszej granicy:

f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}

Teraz zatrzymajmy się już na naprawdę dłuższą chwilę, żeby zastanowić się, jak rozpisać wyrażenie: (x+{Delta}x)^n. Oczywiście absolutnie nie: (x+{Delta}x)^n=x^n+({Delta}x)^n. Nie, nie, nie. Nie.

Skorzystamy tutaj z tzw. wzoru Newtona (może miałeś w szkole średniej, a może nie miałeś):

(a+b)^n=(matrix{2}{1}{n 0})a^n+(matrix{2}{1}{n 1}){a^{n-1}}{b^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){a^{n-2}}{b^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{b^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){a^1}{b^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){b^n}

Gdzie te dziwne znaczki w nawiasach (nie mylić z ułamkami w nawiasach) to tzw. symbole Newtona, liczone wg. wzoru:

(matrix{2}{1}{n k})={n!}/{k!(n-k)!}

Na przykład:

(a+5)^4=(matrix{2}{1}{4 0})a^4+(matrix{2}{1}{4 1}){a^3}{5^1}+(matrix{2}{1}{4 2}){a^2}{5^2}+(matrix{2}{1}{4 3}){a^1}{5^3}+(matrix{2}{1}{4 4}){5^4}

~=a^4+4{a^3}5+6{a^2}25+4a125+625=a^4+4{a^3}5+150{a^2}+500a+625

Wzór Newtona można udowodnić indukcyjnie, zatem dotyczy on tylko n naturalnych (można go uogólnić, ale zostawmy to). Niestety, żeby nie rozwlekać wykładu nie będę tego robił. Jeśli kompletnie się w tym momencie zgubiłeś, może rozważ zrobienie krótkiej przerwy i porobienie kilku ćwiczeń z zakresu wzoru Newtona -wystarczy (oczywiście jeśli będzie Ci się chciało go udowadniać to w ogóle super) :)

Przypomnijmy teraz naszą pochodną-granicę do policzenia:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}

Korzystając w liczniku ze wzoru Newtona otrzymamy:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}=

{lim}under{{Delta}x{right}0}{(matrix{2}{1}{n 0})x^n+(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}{({Delta}x)^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^n}-x^n}/{{Delta}x}

={lim}under{{Delta}x{right}0}{x^n+(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}{({Delta}x)^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^n}-x^n}/{{Delta}x}

={lim}under{{Delta}x{right}0}{(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}{({Delta}x)^1}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^2}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^n}}/{{Delta}x}

Wyłączając wspólny czynnik {Delta}x przed nawias w liczniku mam:

={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}x((matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^1}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-3}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^{n-1}})}/{{Delta}x}

{Delta}x się skraca i mam:

{lim}under{{Delta}x{right}0}((matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}+(matrix{2}{1}{n 2}){x^{n-2}}{({Delta}x)^1}+...+(matrix{2}{1}{n n-2}){a^2}{({Delta}x)^{n-3}}+(matrix{2}{1}{n n-1}){x^1}{({Delta}x)^{n-2}}+(matrix{2}{1}{n n}){({Delta}x)^{n-1}})

Jeśli {Delta}x{right}0 składniki z {Delta}x się skrócą i wyjdę na:

(matrix{2}{1}{n 1}){x^{n-1}}

Teraz:

(matrix{2}{1}{n 1})={n!}/{1!(n-1)!}={n*(n-1)*(n-2)*...*1}/{1*(n-1)*(n-2)*...*1}=n

Czyli nasza granica równa jest:

nx^{n-1}

Co też było dokładnie do wykazania.

W naszym przykładzie 1 założyliśmy jednak, że n jest liczbą naturalną. Mamy więc wzór na pochodną z funkcji x^2, x^5 itd. ale nie mamy wykazanego wzoru na pochodną z funkcji np. x^{-1} albo x^{1/2}.

Przykład 2 – wzór na pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem rzeczywistym

Wykażemy teraz wzór: (x^n){prime}=nx^{n-1} nie ograniczając się tylko do n będących liczbami naturalnymi. Nasz wzór obejmie więc też przypadki pochodnych z funkcji x^{-2},x^{1/3} itd.

Wychodząc ze wzoru na pochodną jako granicę funkcji dostaniemy:

f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}

Wzór Newtona z przykładu 1 tym razem nie będzie nam pomocą (przynajmniej w takiej postaci, w jakiej go tam wprowadziliśmy).

Aby obliczyć powyższą granicę, a więc wyprowadzić wzór na pochodną doprowadzimy ją do wzoru:

{lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha=n

Najpierw jednak udowodnijmy ten wzór.

Mamy do policzenia:

{lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha

Stosujemy podstawienie:

(1+alpha)^n-1=beta

Z którego wynika, że:

(1+alpha)^n=beta+1

A po zlogarytmowaniu obu stron:

ln(1+alpha)^n=ln(beta+1)

A to ze znanego wzoru na logarytmy równe jest:

nln(1+alpha)=ln(beta+1)

Czyli:

ln(1+alpha)={ln(beta+1)}/n

Wracamy teraz do naszej granicy i przekształcamy ją (korzystając z powyższych zależności):

{lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha={lim}under{{alpha}{right}0}beta/alpha

Ta granica równa jest:

={lim}under{{alpha}{right}0}{beta/{ln(1+alpha)}}{{ln(1+alpha)}/alpha}

ln(1+alpha)={ln(beta+1)}/n (wyprowadziliśmy to wyżej) zatem mamy:

={lim}under{{alpha}{right}0}{beta/{{ln(beta+1)}/n}}{{ln(1+alpha)}/alpha}={lim}under{{alpha}{right}0}{beta/{ln(beta+1)}}n{{ln(1+alpha)}/alpha}

Zarówno {lim}under{{alpha}{right}0}{beta/{ln(beta+1)}} jak i {{ln(1+alpha)}/alpha} dążą do 1 (z podstawowego wzoru na granice funkcji), zatem pokazaliśmy, że:

{lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha=n

Wracajmy więc do naszej granicy funkcji:

f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x+{Delta}x)^n-x^n}/{{Delta}x}

Przekształcamy, wyciągając w nawiasie x przed nawias:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}{(x(1+{{Delta}x}/x))^n-x^n}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{x^n}(1+{{Delta}x}/x)^n-x^n}/{{Delta}x}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}{x^n((1+{{Delta}x}/x)^n-1)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}x^n{(1+{{Delta}x}/x)^n-1}/{{{Delta}x}/x{x}}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}x^{n-1}{(1+{{Delta}x}/x)^n-1}/{{{Delta}x}/x}

Tu korzystamy z udowodnionego wyżej wzoru:

{lim}under{{alpha}{right}0}{(1+alpha)^n-1}/alpha=n

I mamy:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}x^{n-1}{(1+{{Delta}x}/x)^n-1}/{{{Delta}x}/x}=x^{n-1}n=nx^{n-1}

Zatem wzór został udowodniony dla dowolnych n, nie tylko naturalnych!

Zastosowanie wzoru na pochodne funkcji potęgowej

Mając wyprowadzony wzór na pochodną funkcji potęgowej: (x^n){prime}=nx^{n-1} mamy do dyspozycji naprawdę potężne narzędzie do obliczania pochodnych nie tylko z prostych:

(x^4){prime}=4x^3

Ale i bardziej zakręconych funkcji:

(1/x){prime}=(x^{-1}){prime}=-1x^{-2}=-1/x^2

(1/x^2){prime}=(x^{-2}){prime}=-2x^{-3}=-1/x^3

(sqrt{x}){prime}=(x^{1/2}){prime}={1/2}x^{-1/2}={1/2}{1/{x^{1/2}}}={1/2}{1/{sqrt{x}}}=1/{2sqrt{x}}

(root{3}{x}){prime}=(x^{1/3}){prime}={1/3}x^{-2/3}={1/3}{1/{x^{2/3}}}={1/3}{1/{root{3}{x^2}}}=1/{3root{3}{x^2}}

Podsumowanie

Jak widać na powyższym przykładzie, zagadnienie znalezienia ogólnego wzoru na pochodną funkcji f(x) sprowadza się do policzenia odpowiedniej granicy funkcji. Nie granicy z funkcji f(x), tylko granicy:

f{prime}(x)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}

Szkolne przykłady na wykazywanie z definicji to wyprowadzanie wzorów na pochodne z funkcji liniowej, kwadratowej, pierwiastka, sinusa lub cosinusa. Zachęcam Cię jednak to próby swoich sił z wyprowadzaniem jakiś innych ciekawych wzorów na pochodne, na przykład na pochodną z funkcji e do x, albo z jakiejś funkcji wykładniczej, albo z tangensa…

Powodzenia!

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 13)




Kliknij, aby zobaczyć, jak wykazać można wzory na pochodne z funkcji cyklometrycznych korzystając z…

twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak badać istnienie pochodnej funkcji w punkcie (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 9000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez

Skomentuj, zapraszam