Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Własności pochodnych

 

Wzory na pochodne

 

Temat: Właściwości pochodnych. Wyprowadzenie właściwości pochodnych.

 

Streszczenie

Jak wiemy, istnieją reguły dotyczące obliczania pochodnej z dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i mnożenia funkcji:

(f(x)+g(x)){prime}=f{prime}(x)+g{prime}(x)

(f(x)-g(x)){prime}=f{prime}(x)-g{prime}(x)

(af(x)){prime}=af{prime}(x)

(f(x)g(x)){prime}=f{prime}(x)g(x)+f(x)g{prime}(x)

({f(x)}/{g(x)}){prime}={f{prime}(x)g(x)-f(x)g{prime}(x)}/{g^2(x)}

Pozwalają one obliczać pochodne już z bardziej złożonych stworów matematycznych, takich jak:

((2x+3)lnx){prime}=(2x+3){prime}lnx+(2x+3)(lnx){prime}=((2x){prime}+(3){prime})lnx+(2x+3)1/x=

~=(2(x){prime}+0)lnx+{2x+3}/x=(2*1)lnx+{2x+3}/x=2lnx+{2x+3}/x

Na tym wykładzie wyprowadzimy sobie wszystkie właściwości pochodnych, jedna po drugiej, z samej definicji pochodnej 🙂

1. (f(x)+g(x)){prime}=f{prime}(x)+g{prime}(x) – pochodna dodawania

Weźmy funkcję składającą się z sumy dwóch innych funkcji: u(x)=f(x)+g(x). Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest sumie pochodnych z funkcji f i g. Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}

u(x+{Delta}x) obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): u(x)=f(x)+g(x) wszędzie w miejsce x-sa x+{Delta}x, czyli:

u(x+{Delta}x)=f(x+{Delta}x)+g(x+{Delta}x)

Wzór na u(x) mamy z założenia, zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)+g(x+{Delta}x)-(f(x)+g(x))}/{{Delta}x}

={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)+g(x+{Delta}x)-f(x)-g(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)+g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}({f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}+{g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x})

Pierwszy składnik to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy {Delta}x{right}0), a drugi składnik to pochodna funkcji g w punkcie x z definicji. Założyliśmy, że obie te pochodne istnieją, zatem można zapisać, że:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}({f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}+{g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x})=f{prime}(x)+g{prime}(x)

Udowodniliśmy w ten sposób naszą własność.

2. (f(x)-g(x)){prime}=f{prime}(x)-g{prime}(x) – pochodna odejmowania

Weźmy funkcję składającą się z różnicy dwóch innych funkcji: u(x)=f(x)-g(x). Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest różnicy pochodnych z funkcji f i g. Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}

u(x+{Delta}x) obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): u(x)=f(x)-g(x) wszędzie w miejsce x-sa x+{Delta}x, czyli:

u(x+{Delta}x)=f(x+{Delta}x)-g(x+{Delta}x)

Wzór na u(x) mamy z założenia, zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-g(x+{Delta}x)-(f(x)-g(x))}/{{Delta}x}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-g(x+{Delta}x)-f(x)+g(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x+{Delta}x)-f(x)-(g(x+{Delta}x)-g(x))}/{{Delta}x}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}({f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}-{g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x})

Pierwszy składnik to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy {Delta}x{right}0), a drugi składnik to pochodna funkcji g w punkcie x z definicji. Założyliśmy, że obie te pochodne istnieją, zatem można zapisać, że:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}({f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}-{g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x})=f{prime}(x)-g{prime}(x)

Udowodniliśmy w ten sposób naszą własność.

Uogólnienie własności 1. i 2.

Własności 1. i 2. można łatwo uogólnić na przypadek sumy/różnicy nie tylko dokładnie dwóch funkcji, ale sumę/różnicę dowolnej ‚n’ liczby funkcji:

(f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)){prime}=f_1{prime}(x)+f_2{prime}(x)+...+f_n{prime}(x)

(f_1(x)-f_2(x)-...-f_n(x)){prime}=f_1{prime}(x)-f_2{prime}(x)-...-f_n{prime}(x)

Postępujemy analogicznie, jak dowodząc przypadku dwóch zmiennych, bralibyśmy:

u(x)=f_1(x){pm}f_2(x){pm}...{pm}f_n(x)

u(x{pm}{Delta}x)=f_1(x{pm}{{Delta}x})+f_2(x{pm}{{Delta}x})+...+f_n(x{pm}{{Delta}x})

3. (cf(x)){prime}=cf{prime}(x) – wyłączanie stałej przed nawias

Weźmy funkcję składającą się ze stałej przemnożonej przez inną funkcję: u(x)=cf(x). Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest stałej c przemnożonej przez funkcję f. Zakładamy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}

u(x+{Delta}x) obliczymy, wstawiając do wzoru na u(x): u(x)=cf(x) wszędzie w miejsce x-sa x+{Delta}x, czyli:

u(x+{Delta}x)=cf(x+{Delta}x)

Wzór na u(x) mamy z założenia, zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{cf(x+{Delta}x)-cf(x)}/{{Delta}x}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}{c(f(x+{Delta}x)-f(x))}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}c{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}

Ułamek w wyrażeniu to pochodna funkcji f w punkcie x z definicji (przy {Delta}x{right}0). Założyliśmy, że ta pochodne istnieje, zatem można zapisać, że:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}c{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}=cf{prime}(x)

Własność jest więc udowodniona.

4. (f(x)g(x)){prime}=f{prime}(x)g(x)+f(x)g{prime}(x) – pochodna z mnożenia

Bierzemy funkcję składającą się z mnożenia dwóch innych funkcji: u(x)=f(x)g(x). Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest pochodnej z funkcji f pomnożonej przez funkcję g plus funkcja f przemnożona przez funkcję g . Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}

W dowodzie tej własności dogodnie będzie przyjąć trochę inne oznaczenia, niż stosowaliśmy do tej pory – dla czytelności zapisu. Jest to zarazem świetny test dla Ciebie – czy rozumiesz rzeczywiście o co chodzi z tą definicją pochodnej, czy tylko skułeś wzorek na pamięć i umiesz do niego podstawić.

We definicji pochodnej z funkcji u mamy wyrażenie: u(x+{Delta}x). Zauważmy, że TO SAMO (wartość funkcji u w punkcie x powiększonym o przyrost {Delta}x można zapisać INACZEJ:

u(x+{Delta}x)=u(x)+{Delta}u – czyli jako wartość funkcji u w punkcie x powiększonej o pewien przyrost wartości funkcji u.

ZATRZYMAJ SIĘ TUTAJ – JEŚLI TEGO NIE ZROZUMIESZ NIE IDŹ DALEJ 🙂

Wiemy, że jeśli z założenia u(x)=f(x)g(x), to:

u(x+{Delta}x)=f(x+{Delta}x)g(x+{Delta}x)

Korzystając z naszych zmienionych oznaczeń (można je zastosować także do funkcji f i funkcji g):

u(x)+{Delta}u=(f(x)+{Delta}f)(g(x)+{Delta}g)

Z założenia u(x)=f(x)g(x) – korzystam z tego po lewej stronie, a po prawej stronie przemnażam nawiasy i mam:

f(x)g(x)+{Delta}u=f(x)g(x)+f(x){Delta}g+g(x){Delta}f+{Delta}f{Delta}g

Po skróceniu:

{Delta}u=f(x){Delta}g+g(x){Delta}f+{Delta}f{Delta}g

Zauważmy teraz, że wracając do naszej pochodnej, którą mamy policzyć z definicji:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}

Wyrażenie w liczniku: u(x+{Delta}x)-u(x) jest to dokładnie nasz przyrost wartości {Delta}u, bo przyrost wartości to wartość w punkcie powiększonym o przyrost pomniejszona o wartość w punkcie „wyjściowym”. Również konieczne jest tutaj, żebyś się zatrzymał, ewentualnie wrócił do definicji pochodnej, żeby zrozumieć, dlaczego:

u(x+{Delta}x)-u(x)={Delta}u

I w konsekwencji:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}u}/{{Delta}x}

{Delta}u policzyliśmy parę linijek wyżej:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}u}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x){Delta}g+g(x){Delta}f+{Delta}f{Delta}g}/{{Delta}x}

Czyli:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}({f(x){Delta}g}/{{Delta}x}+{g(x){Delta}f}/{{Delta}x}+{{Delta}f{Delta}g}/{{Delta}x})

Przyrosty wartości funkcji f {Delta}f i funkcji g {Delta}g równe są odpowiednio (zgodnie z naszymi oznaczeniami):

{Delta}f=f(x+{Delta}x)-f(x)

{Delta}g=g(x+{Delta}x)-g(x)

Mamy zatem granicę:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}(f(x){g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x}+{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}{g(x)}+{{Delta}f{Delta}g}/{{Delta}x})

Zauważmy, że w pierwszych dwóch składnikach mamy pochodne funkcji f i g z definicji (założyliśmy, że istnieją) – a co z trzecim składnikiem? Rozpiszmy go trochę na boczku:

{{Delta}f{Delta}g}/{{Delta}x}={f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}{{Delta}g}

Mamy więc pochodną funkcji f w punkcie x (jakąś wartość) pomnożoną przez coś dążącego do zera (przyrost wartości g {Delta}g dąży oczywiście do zera przy {Delta}x{right}0), czyli całość zbiega do zera.

Trzeci składnik więc w wyrażeniu:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}(f(x){g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x}+{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}{g(x)}+{{Delta}f{Delta}g}/{{Delta}x})

…zbiega do zera i mamy:

~={lim}under{{Delta}x{right}0}(f(x){g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x}+{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}{g(x)}+{{Delta}f{Delta}g}/{{Delta}x})

~=f(x)g{prime}(x)+f{prime}(x)g(x)=f{prime}(x)g(x)+f(x)g{prime}(x)

…czego należało dowieść.

5. ({f(x)}/{g(x)}){prime}={f{prime}(x)g(x)-f(x)g{prime}(x)}/{g^2(x)} – pochodna z dzielenia

Bierzemy funkcję składającą się z mnożenia dwóch innych funkcji: u(x)={f(x)}/{g(x)}. Trzeba pokazać, że pochodna z takiej funkcji równa jest funkcji jak we wzorze . Zakładamy, że funkcje f i g mają pochodne w punkcie x, oraz, że funkcja g jest przyjmuje wartość różną od zera w punkcie, w którym liczymy pochodną.

Z definicji pochodna funkcji u w punkcie x wynosi:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}

Mamy:

u(x+{Delta}x)={f(x+{Delta}x)}/{g(x+{Delta}x)}

Przechodząc na inne oznaczenia, stosowane w wykazywaniu wzoru na pochodną z mnożenia:

u(x)+{Delta}u={f(x)+{Delta}f}/{g(x)+{Delta}g}

{Delta}u={f(x)+{Delta}f}/{g(x)+{Delta}g}-u(x)

{Delta}u={f(x)+{Delta}f}/{g(x)+{Delta}g}-{f(x)}/{g(x)}

{Delta}u={(f(x)+{Delta}f)g(x)}/{(g(x)+{Delta}g)g(x)}-{f(x)(g(x)+{Delta}g)}/{g(x)(g(x)+{Delta}g)}

{Delta}u={f(x)g(x)+g(x){Delta}f-f(x)g(x)-f(x){Delta}g}/{(g(x)+{Delta}g)g(x)}

{Delta}u={g(x){Delta}f-f(x){Delta}g}/{(g(x)+{Delta}g)g(x)}

A jak wiemy z punktu 4. można zapisać:

{lim}under{{Delta}x{right}0}{u(x+{Delta}x)-u(x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}u}/{{Delta}x}=

~={lim}under{{Delta}x{right}0}{{g(x){Delta}f-f(x){Delta}g}/{(g(x)+{Delta}g)g(x)}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}1/{(g(x)+{Delta}g)g(x)}{g(x){Delta}f-f(x){Delta}g}/{{Delta}x}

~={lim}under{{Delta}x{right}0}1/{(g(x)+{Delta}g)g(x)}({f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}{g(x)}-{f(x)}{g(x+{Delta}x)-g(x)}/{{Delta}x})

Składniki w nawiasie to pochodne funkcji f i g z w punkcie x z definicji. {Delta}g{right}0 przy {Delta}x{right}0, mamy zatem wzór:

~=1/{g(x)g(x)}(f{prime}(x)g(x)-f(x)g{prime}(x))={f{prime}(x)g(x)-f(x)g{prime}(x)}/{g^2(x)}

Co należało wykazać 🙂

KONIEC

Kliknij, aby zobaczyć, jak udowodnić można wzór na pochodną funkcji złożonej (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak stosować twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych

Kurs Pochodne

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 9 Lekcji
  • 10 godzin nagrań video
  • 90 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu pochodnych w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

Jedna odpowiedź na “Własności pochodnych”

  1. Dave 23 maja 2013 o 15:00 Link do komentarza

    Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej.
    Jak się zabrać za udowadnianie nierówności?
    Np.: Pokazać, że 2lnx1?

Dodaj komentarz