Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

 

Wzory na pochodne

 

Temat: Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Zastosowanie twierdzenia do wyprowadzenia kilku wzorów na pochodne.

 

Streszczenie

Na wykładzie  zapoznamy się z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej, udowodnimy je i zobaczymy, jak zastosować do wyznaczenia różnych wzorów na pochodne, wykazanie których bez tego twierdzenia (na przykład bezpośrednio z definicji, jak na poprzednim wykładzie) było by, ostrożnie pisząc – ciężkie.

Niestety przed zaatakowaniem twierdzenia wypadało by wiedzieć, co to jest funkcja odwrotna, dlaczego funkcją odwrotną do y=x^2 jest funkcja y^{~-1}=sqrt{x} i dlaczego musimy się ograniczyć w tym przypadku do przedziału argumentów na przykład (0,+infty)

Wyprowadzanie wzorów przy pomocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej jest dosyć częstym zadaniem z analizy matematycznej na studiach, także wykład może Ci się przydać w uczelnianych bojach.

Twierdzenie i dowód podaję korzystając z książki Fichtenholz’a, rozszerzając, zawężając, poprawiając literówki i przerabiając w paru punktach.

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną f^{~-1}(x), oraz w punkcie x_0 ma skończoną i różną od zera pochodną f{prime}(x_0), wtedy w odpowiadającym x_0 punkcie y_0 istnieje pochodna funkcji odwrotnej  (f^{~-1}(x)){prime} i jej wartość w punkcie y_0 równa jest 1/{f{prime}(x_0)}.

Niezrozumiały ciąg znaczków? Na początku bardzo możliwe, że tak, wgryźmy się więc w to twierdzenie przy pomocy dwóch prostych, konkretnych przykładów.

Przykład 1

Jeżeli funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną f^{~-1}(x),

  1. Weźmy funkcję f(x)=x^2 w przedziale x{in}(0,+infty)
  2. Funkcja odwrotna do niej istnieje równa jest f^{~-1}(x)=sqrt{x} – nie tłumaczę już dlaczego i po co te zastrzeżenie z przedziałem x, sorry…

oraz w punkcie x_0 ma skończoną i różną od zera pochodną f{prime}(x_0),

3. Weźmy punkt x_0=4. Pochodna funkcji f(x)=x^2 istnieje (f{prime}(x)=(x^2){prime}=2x) i w punkcie x_0=4 jej wartość jest różna od zera (f{prime}(4)=2*4=8).

wtedy w odpowiadającym x_0 punkcie y_0

4. Odpowiadający punktowi x_0=4 punkt y_0 jest to odpowiadająca punktowi x_0 wartość funkcji f(x)=x^2, czyli y_0=f(x_0)=4^2=16.

Zatem w naszym przykładzie:

y_0=16

istnieje pochodna funkcji odwrotnej  (f^{~-1}(x)){prime}

5. Rzeczywiście, funkcja odwrotna jest f^{~-1}(x)=sqrt{x}, jej pochodna równa jest: (f^{~-1}(x)){prime}=1/{2sqrt{x}} (z podstawowych wzorów na pochodne) i w punkcie y_0=16 istnieje jak najbardziej i jest równa:

(f^{~-1}(16)){prime}=1/{2sqrt{16}}=1/{2*x}=1/8

i jej wartość w punkcie y_0 równa jest 1/{f{prime}(x_0)}.

6. Rzeczywiście, obliczona w punkcie 5. (f^{~-1}(16)){prime}=1/8 jest równa:

1/{f{prime}(x_0)}=1/8 (f{prime}(x_0)=8 – obliczyłem to w punkcie 3.)

Czyli Twierdzenie „działa” 🙂

Przykład 2

Jeżeli funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną f^{~-1}(x),

  1. Weźmy funkcję wykładniczą f(x)=2^x
  2. Funkcja odwrotna do niej istnieje równa jest f^{~-1}(x)=log_2{x} – to było w średniej, nie tłumaczę również (funkcje logarytmiczna i wykładnicza to funkcje odwrotne)

oraz w punkcie x_0 ma skończoną i różną od zera pochodną f{prime}(x_0),

3. Weźmy punkt x_0=2. Pochodna funkcji f(x)=2^x istnieje (f{prime}(x)=(2^x){prime}=2^x{ln2} – podstawowe wzory na pochodne) i w punkcie x_0=2 jej wartość jest różna od zera (f{prime}(2)={2^2}*ln2=4ln2).

wtedy w odpowiadającym x_0 punkcie y_0

4. Odpowiadający punktowi x_0=2 punkt y_0 jest to wartość funkcji f(x)=2^x w punkcie x_0, czyli y_0=f(x_0)=2^2=4.

Czyli:

y_0=4

istnieje pochodna funkcji odwrotnej  (f^{~-1}(x)){prime}

5. Rzeczywiście, funkcja odwrotna jest f^{~-1}(x)=lox_2{x}, jej pochodna równa jest: (f^{~-1}(x)){prime}=1/{xln2} (z podstawowych wzorów na pochodne). W punkcie y_0=4 pochodna istnieje i jest równa:

(f^{~-1}(4)){prime}=1/{4ln2}

i jej wartość w punkcie y_0 równa jest 1/{f{prime}(x_0)}.

6. Rzeczywiście, obliczona w punkcie 5. (f^{~-1}(4)){prime}=1/{4ln2} jest równa:

1/{f{prime}(x_0)}=1/{4ln2} (f{prime}(x_0)=4ln2 – obliczyłem to w punkcie 3.)

Czyli Twierdzenie znowu „działa” 🙂

Dowód Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Udowodnimy to twierdzenie, odwołując się do interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji w punkcie. Jak pamiętamy, wartość pochodnej funkcji w punkcie jest to tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Na wykresie wyglądało by to tak:

Wykres pochodnej funkcji w punkcieWartość pochodnej w punkcie x_0 zdefiniowaliśmy na wcześniejszych wykładach jako tangens kąta alpha:

f{prime}(x_0)=tg{alpha}={{Delta}y}/{{Delta}x}

Zauważmy teraz ciekawą rzecz: wykres funkcji odwrotnej do f^{~-1}(x) można przedstawić na dokładnie tym samym wykresie, tylko, że należy pamiętać, iż czyta się go „na odwrót” – tzn. jakby argumentom y przyporządkowujemy wartości x (a więc przyrostem argumentów funkcji odwrotnej jest {Delta}y, a przyrostem odpowiadających jej wartości jest {Delta}x):

Wykres pochodnej do funkcji odwrotnej w punkcieZauważmy, że wartość pochodnej tej funkcji odwrotnej w punkcie y_0 równa jest:

(f^{~-1}(y_0)){prime}=tg{beta}={{Delta}x}/{{Delta}y}

Widać więc, że wartość pochodnej z funkcji i wartość pochodnej jej funkcji odwrotnej to tangensy kątów w tym samym trójkącie prostokątnym.

A takie tangensy kątów w trójkącie prostokątnym (jak pamiętamy ze szkoły średniej) związane są zależnością:

tg{alpha}tg{beta}=1

Czyli (po obustronnym podzieleniu przez tg{alpha}):

tg{beta}=1/{tg{alpha}}

A z tego wynika wniosek naszego twierdzenia, czyli:

(f^{~-1}(y_0)){prime}=1/{f{prime}(x_0)}

🙂

KONIEC DOWODU

 

Wyprowadzania wzorów na pochodne przy wykorzystaniu twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej

Przykład 3

Wyprowadź wzór na pochodną funkcji f(x)=arccosx.

Wzór, który mamy wyprowadzić, to: (arccosx){prime}=-1/{sqrt{1-x^2}}.

Nasza funkcja f(x) jest to funkcja arccosx. Funkcja odwrotna do niej to funkcja f^{~-1}(x)=cosx. Pochodna z funkcji odwrotnej to (f^{~-1}(x)){prime}=-sinx.

Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie y_0 równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie x_0:

(f^{~-1}(y_0)){prime}=1/{f{prime}(x_0)}

Czyli w dowolnym punkcie x_0:

-sin(y_0)=1/{f{prime}(x_0)}

Po przekształceniu:

{f{prime}(x_0)}=-1/{sin(y_0)}

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyprowadzić, że: sin{y_0}=sqrt{1-cos^2{y_0}}, czyli mamy:

{f{prime}(x_0)}=-1/sqrt{1-cos^2{y_0}}

Teraz uwaga: y_0 jest to wartość funkcji f(x)=arccosx w punkcie [/pmath]x_0[/pmath], czyli y_0=arccos(x_0). Zatem: cos{y_o}=cos(arccos(x_0))=x_0 – bo cosinus i arcus cosinus to funkcje odwrotne, mamy więc:

{f{prime}(x_0)}=-1/sqrt{1-cos^2{y_0}}=-1/sqrt{1-(x_0)^2} w dowolnym punkcie x_0 (spełniającym oczywiście warunki z dziedziną, co zaniedbałem), zatem nasz wzór (arccosx){prime}=-1/{sqrt{1-x^2}} został w ten sposób wykazany.

Przykład 4

Wyprowadź wzór na pochodną funkcji f(x)=arctgx.

Wzór, który mamy wyprowadzić, to: (arctgsx){prime}=1/{x^2+1}.

Nasza funkcja f(x) jest to funkcja arctgx. Funkcja odwrotna do niej to funkcja f^{~-1}(x)=tgx. Pochodna z funkcji odwrotnej to (f^{~-1}(x)){prime}=1/{cos^2{x}}.

Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie y_0 równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie x_0:

(f^{~-1}(y_0)){prime}=1/{f{prime}(x_0)}

Czyli w dowolnym punkcie x_0:

1/{cos^2{y_0}}=1/{f{prime}(x_0)}

Po przekształceniu:

{f{prime}(x_0)}=1/{1/cos^2{y_0}}

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy przekształcić to dalej:

{f{prime}(x_0)}=1/{{sin^2{y_0}+cos^2{y_0}}/{cos^2{y_0}}}

{f{prime}(x_0)}=1/{{sin^2{y_0}}/{cos^2{y_0}}+{cos^2{y_0}}/{cos^2{y_0}}}

{f{prime}(x_0)}=1/{tg^2{y_0}+1}

Teraz uwaga: y_0 jest to wartość funkcji f(x)=arctgx w punkcie [/pmath]x_0[/pmath], czyli y_0=arctg(x_0). Zatem: tg{y_o}=tg(arctg(x_0))=x_0 – bo tangens i arcus tangens to funkcje odwrotne, mamy więc:

{f{prime}(x_0)}=1/{(x_0)^2+1}w dowolnym punkcie x_0 (spełniającym oczywiście warunki z dziedziną, co zaniedbałem), zatem nasz wzór (arctgx){prime}=1/{x^2+1} został w ten sposób wykazany.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

 

Kliknij tutaj, aby zobaczyć, jak wykazać można własności pochodnych (następny Wykład) –>

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, jak wyprowadzać wzory na pochodne z definicji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę główną z wykładami o pochodnych

Kurs Pochodne

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 9 Lekcji
  • 10 godzin nagrań video
  • 90 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu pochodnych w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

6 komentarzy na “Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej”

  1. Anonim 16 października 2013 o 23:21 Link do komentarza

    hmm a ja nadal nie rozumiem

  2. jmisiak@go2.pl 3 kwietnia 2014 o 12:19 Link do komentarza

    Wykład był boski. Studenta 50+ nauczyłeś pochodnych funkcji odwrotnych. Pozdrawiam

  3. pietrek 17 września 2014 o 14:41 Link do komentarza

    Zastanawiam się jak zrobić coś takiego: Dla funkcji dwóch zmiennych f(x,y) podać interpretację równości fy'(5,3)=4. Wydaje mi się to banalnie proste, a z drugiej strony nie wiem jak się do tego zabrać. W miarę możliwości proszę o pomoc. Pozdrawiam.

  4. behindcloseddoors 8 grudnia 2015 o 19:53 Link do komentarza

    A co z arcctg x ? Próbuje cały czas ale nie wychodzi /;

    • Joanna Grochowska 11 grudnia 2015 o 13:14 Link do komentarza

      Wyprowadzenie wzoru na na pochodną funkcji f(x)=arcctg(x) będzie bardzo podobne to zamieszczonej w artykule pochodnej funkcji arctgx.

      Wzór, który mamy wyprowadzić, to: \displaystyle \left( {arcctgx} \right)'=-\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}

      Nasza funkcja f(x) jest to funkcja arcctgx. Funkcja odwrotna do niej to funkcja \displaystyle {{f}^{{-1}}}(x)=ctgx. Pochodna z funkcji odwrotnej to \displaystyle \left( {{{f}^{{-1}}}(x)} \right)'=\left( {ctg x} \right)'=-\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x}} (to wiem z podstawowych wzorów na pochodne).

      Zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie \displaystyle {{y}_{0}} równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie \displaystyle {{x}_{0}}:

      \displaystyle ({{f}^{{~-1}}}({{y}_{0}}))'=\frac{1}{{f'({{x}_{0}})}}

      Czyli w dowolnym punkcie \displaystyle {{x}_{0}}:

      \displaystyle -\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}=\frac{1}{{f'({{x}_{0}})}}

      Po przekształceniu:

      \displaystyle f'({{x}_{0}})=-{{\sin }^{2}}{{y}_{0}}=-\frac{1}{{\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}}}

      Korzystając z jedynki trygonometrycznej mogę przekształcić to dalej:

      \displaystyle f'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{\frac{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}+{{{\cos }}^{2}}{{y}_{0}}}}{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}}}=-\frac{1}{{\frac{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}+\frac{{{{{\cos }}^{2}}{{y}_{0}}}}{{{{{\sin }}^{2}}{{y}_{0}}}}}}=-\frac{1}{{1+{{{ctg }}^{2}}{{y}_{0}}}}

      Wracając do pierwotnego rozwiązania:

      \displaystyle {{y}_{0}} jest to wartość funkcji f(x)=arcctgx w punkcie \displaystyle {{x}_{0}} , czyli \displaystyle {{y}_{0}}=arcctg {{x}_{0}} .

      Zatem: \displaystyle ctg {{y}_{0}}=ctg (arcctg ({{x}_{0}}))={{x}_{0}} – bo cotangens i arcus cotangens to funkcje odwrotne, mam więc:

      \displaystyle f'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{{{{({{x}_{0}})}}^{2}}+1}} w dowolnym punkcie \displaystyle {{x}_{0}} (spełniającym oczywiście warunki z dziedziną).

      Zatem mam ostateczny wynik, zgadzający się z pierwotnym założeniem:
      \displaystyle \left( {arcctg x} \right)'=-\frac{1}{{{{x}^{2}}+1}}

Dodaj komentarz