Pochodne jednostronne i nieskończone funkcji

 

Pochodne Funkcji Wykład 3

 

Temat: Pochodne jednostronne. Pochodne nieskończone.

 

Streszczenie

Na wykładzie pokażę, czym są pochodne jednostronne funkcji, a także jej pochodne nieskończone. Zobaczymy też, jak wykazać, że pochodna funkcji nie istnieje.

Pochodne jednostronne funkcji

Definiując pochodne (niezależnie od tego, czy w sposób opisany w Wykładzie 1, czy w Wykładzie 2) doszliśmy do tego, że pochodna funkcji w punkcie x_0 jest pewnego rodzaju granicą funkcji:

y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}

Granicę tą uzyskaliśmy…

  1. Na pierwszym wykładzie obliczając coraz bardziej precyzyjne prędkości średnich dla przyrostów czasu coraz bliższych x_0. Na przykładzie w wykładzie były to prędkości średnie między 2 a 2,5 sekundą ruchu, potem między 2 a 2,25 sekundą, między 2 a 2,1 sekundą itd. Nasze x_0 zwiększaliśmy więc o przyrosty {Delta}x i dążyliśmy z tymi przyrostami do zera. Nic nie stało na przeszkodzie, abyśmy brali prędkości średnie pomiędzy 1,5 a 2 sekundą, 1,75 a 2 sekundą, 1,9  a 2 sekundą itd, a więc zmniejszali byśmy o przyrosty {Delta}x i dążyli z tymi przyrostami do zera.
    Pochodną uzyskaną wyniku dążenia do x_0 z prawej strony możemy nazwać pochodną prawostronną funkcji i oznaczyć ją:
    y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}
    Pochodną uzyskaną wyniku dążenia do x_0 z lewej strony możemy nazwać pochodną lewostronną funkcji i oznaczyć ją:
    y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}
    W naszym przykładzie z Kaziem na sankach obie te pochodne wyszły by równe (gorąco, gorąco, gorąco polecam wyciągnąć kalkulator i to sprawdzić, obliczając kolejne prędkości średnie). Nie jest to jednak regułą we wszystkich funkcjach i we wszystkich pochodnych. Czasami podchodząc do x_0 z prawej strony uzyskamy inny wynik (granicę), niż z lewej. Czasami możemy podchodzić tylko z którejś strony, bo po drugiej w ogóle funkcji nie ma… Może być różnie.
  2. Na drugim przykładzie doszliśmy do pochodnej biorąc kolejne sieczne:Styczna razem z siecznymiZauważ, że na naszym przykładzie definiując styczną brałem punkty B_1, B_2, B_3, B_4,..., czyli punkty zbliżające się do A z prawej strony. Umawiając się, że biorę tylko takie punkty uzyskam przyrosty argumentów {Delta}x dodatnie, a wzór na tangens kąta nachylenia stycznej:
    y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}
    Równie dobrze jednak mogłem brać te punkty na krzywej dążące do A z lewej strony – w tym przypadku przyrosty {Delta}x będą ujemne, a wzór na odpowiedni tangens:
    y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}
    Biorąc sieczne z lewej lub z prawej strony uzyskamy tą samą (albo i nie) styczną. Mówimy więc o stycznej lewostronnej i stycznej prawostronnej. Mogą to być, w przypadku niektórych funkcji, dwie różne proste, które mają różne tangensy kąta nachylenia do osi OX.

Pojęcie pochodnych jednostronnych wynika więc nawet dosyć naturalnie z samego intuicyjnego rozumienia tego, czym są pochodne. Jeżeli jednak nawet znalibyśmy tylko i wyłącznie samą definicję granicy funkcji w punkcie x_0:

y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}

to pamiętając z Wykładów o samych granicach funkcji, że granica może być lewo i prawostronna, że istnieje wtedy, kiedy lewo i prawostronne są równe itd.

Po prostu zapominając na chwilę o tym, że jest to pochodna i zostając tylko i wyłącznie na gruncie granic funkcji obliczymy i zrozumiemy wszystko, co jest nam potrzebne z granic jednostronnych.

Pochodne jednostronne – kiedy ich używać?

Po zapoznaniu się z powyższym budzi się na pewno w każdym studencie pewien swoisty lęk – co to są pochodne to już jako tako umiem, liczyć jakoś tam umiem, wzory niby mam i teraz aby nauczyć się pochodnych muszę umieć JESZCZE COŚ NOWEGO?

Spokojnie. W praktycznych obliczeniach na studiach w 99% przypadków będziesz miał sytuację, w której pochodna lewo i prawostronna funkcji są sobie równe, a w tym przypadku w ogóle nie ma co wprowadzać analizy lewo i prawostronnej zachowania się granicy. Pochodna z x^2 to jest po prostu w każdym punkcie 2x, nie ma tu w ogóle potrzeby nawet znajomości tych subtelnych rozróżnień.

Pochodne jednostronne mogą Ci się jednak przydać do dwóch rzeczy:

  1. Do lepszego rozumienia tego, czym są pochodne (nie lekceważyłbym tej sprawy)
  2. Do rozwiązywania pewnego rodzaju szczególnych zadań, na przykład na sprawdzanie, czy pochodna w punkcie istnieje (a będzie istnieć, gdy pochodne lewo i prawostronna są równe)
  3. Do trudniejszych analiz ogólnie

Szkolnym przykładem na punkt 2. jest:

Przykład

Sprawdź, czy funkcja f(x)=delim{|}{x}{|} ma pochodną w punkcie x_o=0.

Funkcja f(x)=delim{|}{x}{|} narysowana w układzie współrzędnych wyglądała by tak:

Wykres wartości bezwzględnej z xPytanie jest – czy ma on pochodną w punkcie x_0=0? Niby w sumie – czemu nie? No ale przyjrzyjmy się bliżej. Liczymy granicę prawostronną:

y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}

Biorą za x_0=0:

y{prime}(0)={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}

={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{0+{Delta}x}{|}-delim{|}{0}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}

Teraz ważny moment. {Delta}x jest dodatnie (wiemy to stąd, że liczymy granicę przy {lim}under{{Delta}x{right}0^+}), a wartości bezwzględna z liczby dodatniej jest równa tej liczbie, zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{+{Delta}x}/{{Delta}x}=1

Pochodna prawostronna jest więc równa 1.

Liczymy granicę lewostronną:

y{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}

Biorą za x_0=0:

y{prime}(0)={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}

={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{0+{Delta}x}{|}-delim{|}{0}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}

Teraz znowu ważny moment. {Delta}x jest ujemne (wiemy to stąd, że liczymy granicę przy {lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}), a wartości bezwzględna z liczby dodatniej jest równa tej liczbie z minusem (całość musi być dodatnia), zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{-{Delta}x}/{{Delta}x}=-1

Pochodna lewostronna jest więc równa -1.

Zatem pochodna lewo i prawostronna są różne od siebie. Morał z tego taki, że pochodna z funkcji f(x)=delim{|}{x}{|} ma pochodną w punkcie x_o=0 nie istnieje.

Pochodne nieskończone

Skoro – jak już wiemy – pochodna funkcji w punkcie to pewna granica, nic nie stoi na przeszkodzie, aby dążyła ona do +infty, lub ~-infty – jak każda porządna granica. Tak uzyskaną pochodną możemy nazwać pochodną nieskończoną. Oczywiście możemy mówić też o pochodnej lewostronnej i prawostronnej nieskończonej (tak jak w przypadku każdej granicy). Interpretacją geometryczną takiej granicy są sieczne dążące do stycznej pionowej (tangens 90^0 dąży do +infty lub ~-infty).

Przykład

Oblicz pochodną funkcji f(x)=sqrt{x} w punkcie x_0=0.

Mamy więc obliczyć:

y{prime}(0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}

={lim}under{{Delta}x{right}0}{sqrt{0+{Delta}x}-sqrt{0}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{sqrt{{Delta}x}}/{{Delta}x}

W tym przypadku nie ma sensu liczyć pochodnej lewostronnej przy {Delta}x{right}0^{-}. Nie możemy brać {Delta}x ujemnych, bo pierwiastki (rzeczywiste, ale nie motajmy) z liczb ujemnych nie istnieją. Jeśli więc istnieje pochodna w tym punkcie to tylko prawostronna, mamy więc:

{lim}under{{Delta}x{right}0^+}{sqrt{{Delta}x}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}1/{sqrt{{Delta}x}}

Co dąży do plus lub minus nieskończoności (granice funkcji się kłaniają, symbol delim{[}{A/0}{]}), a skoro mianownik i licznik są dodatnie, to do plus nieskończoności.

{lim}under{{Delta}x{right}0^+}1/{sqrt{{Delta}x}}=+infty

Zatem funkcja f(x)=sqrt{x} ma w punkcie x_0=0 pochodną prawostronną równą +infty

Rysując wykres funkcji f(x)=sqrt{x} i biorąc kolejne sieczne…

Styczna prawostronna…widzimy, że graniczną prostą dla tych siecznych jest prosta pionowa, o kącie nachylenia do osi OX 90^0.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 13)


Kliknij, aby sprawdzić, jak wykorzystywać pochodne jednostronne funkcji w zadaniach praktycznych (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak zinterpretować pochodną jako tangens (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami o pochodnych

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 3000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 13 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez

Skomentuj, zapraszam