Pochodna z pierwiastka – jak wyprowadzić wzór

 

Wyprowadzanie wzorów na pochodne funkcji

Wzory na pochodne nie wzięły się z kosmosu, tylko po prostu są one wyprowadzone z definicji pochodnej:

lim{{Delta}x{right}0}{{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}}

Pochodna z pierwiastka

Wyprowadźmy na przykład wzór na pochodną pierwiastka z x: sqrt{x}. Powinniśmy otrzymać wynik: 1/{2sqrt{x}} (tako rzeczą podstawowe wzory na pochodne – wzorek numer 5).

Mamy f(x)=sqrt{x}. Do dzieła. Po podstawieniu do wzoru na pochodną z definicji otrzymamy:

{f{prime}(x)}=lim{{Delta}x{right}0}{ {sqrt{x+{Delta}x}-sqrt{x}}/{{Delta}x} }

Mnożąc licznik i mianownik w następujący sposób…

{lim{{Delta}x{right}0}{ {sqrt{x+{Delta}x}-sqrt{x}}/{{Delta}x} }}*{ {sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}  }

…i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia w liczniku pozbędziemy się w nim niewymierności i wyjdziemy na:

lim{{Delta}x{right}0}{ {x+{Delta}x-x}/{{Delta}x(sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x})} }

x-sy na górze w liczniku się skrócą i otrzymamy…

lim{{Delta}x{right}0}{ {{Delta}x}/{{Delta}x(sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x})} }

…a po skróceniu {Delta}x w liczniku i mianowniku:

lim{{Delta}x{right}0}{1/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}}

Skoro {Delta}x{right}0 oznacza to, że:

lim{{Delta}x{right}0}{1/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}}=1/{sqrt{x}+sqrt{x}}=1/{2sqrt{x}}

Czyli jesteśmy w domu. Wzór na pochodną wyprowadzony.

Możesz pokombinować z innymi wzorami, zachęcam!

Przypadki bardziej ogólne

Zadanie na wyprowadzenie wzoru na pochodną sprowadzi się zawsze do obliczenia odpowiedniej granicy, w której ‚x’ traktujesz jak stałą. Może być ono łatwiejsze, lub trudniejsze, ale możesz stosować w nim metody i sztuczki znane już Tobie z liczenia granic funkcji.

Może z jednym zastrzeżeniem.

Niestety – odpada reguła de l’Hospitala. Dlaczego? No właśnie dlatego, że wykorzystuje się w niej pochodne.

Przypomnę Ci Twoje zadanie – musisz policzyć pochodną funkcji z definicji, bez znajomości wzoru. A regule de l’Hospitala wykorzystuje się właśnie wzory na pochodne i to często!

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej