fbpx

Badanie istnienia pochodnej funkcji

Pochodne Funkcji Wykład 4

Temat: Badanie istnienia pochodnej – przykłady

Streszczenie

Wykład poświęcony będzie kilku konkretnym zadaniom, w którym wykazywać będziemy istnienie (lub nie) pochodnej funkcji w punkcie, korzystając z wiadomości z poprzedniego wykładu.

Przykład 1

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie :

Funkcja z przykładu 1 f(x)

Jak widzieliśmy w poprzednim wykładzie, aby zbadać istnienie pochodnej tej funkcji w punkcie 0 należy zbadać istnienie pochodnej lewo i prawostronnej z funkcji w tym punkcie.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

Za  podstawiamy zero i mamy:

 z naszego wzoru na funkcję i mamy:

 z naszego podstawowego wzoru na funkcję (bo \Delta x\ne 0), zatem:

Jeżeli mamy więc granicę z sinus z czegoś rozbiegającego w , a taka granica w ogóle nie istnieje (pokazałem to w jednym z moich postów na blogu).

Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie NIE ISTNIEJE.

Całe rozumowanie moglibyśmy powtórzyć właściwie dla pochodnej prawostronnej.

Zatem funkcja f(x) nie ma w punkcie pochodnej ani lewo, ani prawostronnej. Pochodna tej funkcji w tym punkcie nie istnieje (mimo, że można pokazać, iż funkcja w tym punkcie jest ciągła).

Przykład 2

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie :

Funkcja f(x) z przykładu 2

Badamy istnienie pochodnych jednostronnych, zaczynając od pochodnej lewostronnej:

Przy pomocy twierdzenia o trzech funkcjach (sprawdź odpowiedni post na moim blogu) można pokazać, że granica tej funkcji istnieje i jest równa zero. Rzeczywiście, zachodzi nierówność:

Granica zaś z funkcji ograniczającej z dołu i funkcji ograniczającej z góry jest równa 0:

Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:

Pochodna lewostronna zatem istnieje i jest równa 0.

Całe rozumowanie można powtórzyć dla pochodnej prawostronnej, która również równa będzie 0.

Zatem pochodna funkcji f(x) w punkcie 0 istnieje i jest równa 0.

Przykład 3

Oblicz pochodne jednostronne z funkcji  w punkcie .

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

jest ujemna (bo ), zatem:

Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa -1.

Teraz liczymy pochodną prawostronną:

jest dodatnia (bo ), zatem:

Czyli pochodna prawostronna z funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa 1.

Przykład 4

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji w punkcie .

Tu zauważmy bardzo ciekawą rzecz. Pochodna z funkcji f(x) obliczona wzorami równa była by .

Jednak pochodna obliczona tym wzorem w punkcie nie istnieje (ten punkt nie należy do jej dziedziny). Zatem nie możemy zastosować tego wzoru w punkcie i musimy badać w nim pochodną z definicji.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

Ten sam wynik zostanie osiągnięty przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (w mianowniku jest zawsze dodatnie, bo podniesione do kwadratu).

Zatem funkcja f(x) ma w punkcie 0 pochodną nieskończoną .

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać pochodne jednostronne funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby przejść do wzorów na pochodne funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami o pochodnych