Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Badanie istnienia pochodnej funkcji

 

Pochodne Funkcji Wykład 4

 

Temat: Badanie istnienia pochodnej – przykłady

 

Streszczenie

Wykład poświęcony będzie kilku konkretnym zadaniom, w którym wykazywać będziemy istnienie (lub nie) pochodnej funkcji w punkcie, korzystając z wiadomości z poprzedniego wykładu.

Przykład 1

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie x_0=0:

Funkcja z przykładu 1 f(x)

Jak widzieliśmy w poprzednim wykładzie, aby zbadać istnienie pochodnej tej funkcji w punkcie 0 należy zbadać istnienie pochodnej lewo i prawostronnej z funkcji w tym punkcie.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}

Za x_0 podstawiamy zero i mamy:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}

f(0)=0 z naszego wzoru na funkcję i mamy:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)-0}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)}/{{Delta}x}

f({Delta}x)={Delta}xsin{1/{{Delta}x}} z naszego podstawowego wzoru na funkcję (bo \Delta x\ne 0), zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{{Delta}xsin{1/{{Delta}x}}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{sin{1/{{Delta}x}}}

Jeżeli {Delta}x{right}0^{-} mamy więc granicę z sinus z czegoś rozbiegającego w ~infty, a taka granica w ogóle nie istnieje (pokazałem to w jednym z moich postów na blogu).

Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie x_0=0 NIE ISTNIEJE.

Całe rozumowanie moglibyśmy powtórzyć właściwie dla pochodnej prawostronnej.

Zatem funkcja f(x) nie ma w punkcie x_0 pochodnej ani lewo, ani prawostronnej. Pochodna tej funkcji w tym punkcie nie istnieje (mimo, że można pokazać, iż funkcja w tym punkcie jest ciągła).

Przykład 2

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x) w punkcie x_0=0:

Funkcja f(x) z przykładu 2Badamy istnienie pochodnych jednostronnych, zaczynając od pochodnej lewostronnej:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}=

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)-0}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{{({Delta}x)^2}sin{1/{{Delta}x}}}/{{Delta}x}=

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}xsin{1/{{Delta}x}}

Przy pomocy twierdzenia o trzech funkcjach (sprawdź odpowiedni post na moim blogu) można pokazać, że granica tej funkcji istnieje i jest równa zero. Rzeczywiście, zachodzi nierówność:

{Delta}x*(-1)<={Delta}xsin{1/{{Delta}x}}<={Delta}x*1

Granica zaś z funkcji ograniczającej z dołu i funkcji ograniczającej z góry jest równa 0:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}x*(-1)={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}x*1=0

Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{Delta}xsin{1/{{Delta}x}}=0

Pochodna lewostronna zatem istnieje i jest równa 0.

Całe rozumowanie można powtórzyć dla pochodnej prawostronnej, która również równa będzie 0.

Zatem pochodna funkcji f(x) w punkcie 0 istnieje i jest równa 0.

Przykład 3

Oblicz pochodne jednostronne z funkcji f(x)=delim{|}{x-2}{|} w punkcie x_0=2.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(2+{Delta}x)-f(2)}/{{Delta}x}=

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{2+{Delta}x-2}{|}-delim{|}{2-2}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}

{Delta}x jest ujemna (bo {Delta}x{right]0^{-}), zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{~-{Delta}x}/{{Delta}x}=-1

Zatem pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa -1.

Teraz liczymy pochodną prawostronną:

{lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{f(2+{Delta}x)-f(2)}/{{Delta}x}=

{lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{2+{Delta}x-2}{|}-delim{|}{2-2}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^+}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}

{Delta}x jest dodatnia (bo {Delta}x{right]0^+), zatem:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{+}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{+}}{+{Delta}x}/{{Delta}x}=1

Czyli pochodna prawostronna z funkcji f(x) w punkcie 2 jest równa 1.

Przykład 4

Sprawdź istnienie pochodnej z funkcji f(x)=root{3}{x} w punkcie x_0=0.

Tu zauważmy bardzo ciekawą rzecz. Pochodna z funkcji f(x) obliczona wzorami równa była by (root{3}{x}){prime}=(x^{1/3}){prime}={1/3}x^{-2/3}={1/3}*{1/{x^{2/3}}}=1/{3root{3}{x^2}}

Jednak pochodna obliczona tym wzorem w punkcie x_0=0 nie istnieje (ten punkt nie należy do jej dziedziny). Zatem nie możemy zastosować tego wzoru w punkcie x_0=0 i musimy badać w nim pochodną z definicji.

Zaczynamy od pochodnej lewostronnej:

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f(0+{Delta}x)-f(0)}/{{Delta}x}=

{lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{f({Delta}x)-root{3}{0}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{root{3}{{Delta}x}-0}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{root{3}{{Delta}x}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}1/{root{3}{({Delta}x)^2}}=+infty

Ten sam wynik zostanie osiągnięty przy obliczaniu pochodnej prawostronnej (w mianowniku {Delta}x jest zawsze dodatnie, bo podniesione do kwadratu).

Zatem funkcja f(x) ma w punkcie 0 pochodną nieskończoną +infty.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)

Kliknij, aby przejść do wzorów na pochodne funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak obliczać pochodne jednostronne funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami o pochodnych

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

2 komentarze na “Badanie istnienia pochodnej funkcji”

  1. Dominika 27 grudnia 2013 o 14:44 Link do komentarza

    Czemu w przykładzie 3, konkretnie w tym miejscu: {lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{delim{|}{{Delta}x}{|}}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0^{-}}{~-{Delta}x}/{{Delta}x}=-1, nie ma w mianowniku również, że delta x = -1 ?

  2. Dominika 27 grudnia 2013 o 14:56 Link do komentarza

    I jeszcze mam pytanie co do przykładu 4 i ostatniego przekształcenia. nie rozumiem jak pierwiastek 3-go stopnia z x / x zamienia się na to następne wyrażenie..

Dodaj komentarz