Dlaczego wykres funkcji nie może mieć dwóch asymptot ukośnych przy x dążącym do plus nieskończoności?

Do odpowiedzi na postawione w tytule pytanie nie potrzebujemy sięgać aż do definicji asymptoty ukośnej, wystarczy nam sama wiedza o tym, czym jest funkcja.

Jak często w matematyce bywa – wyobrazimy sobie roboczo, że wykres funkcji MA dwie różne asymptoty ukośne przy x{right}{+infty} i pokażemy, że przyjmując takie założenie dojdziemy na pewno do sprzeczności, zatem tego założenia przyjąć nie można.

Wykres

Na wykresie te asymptoty mogły by wyglądać na przykład tak:

Wykres z dwiema asymptotamiA wykres funkcji powinien zbliżać się do tych asymptot przy x{right}{+infty}, zatem wyglądać będzie następująco:

Wykres z dwiema asymptotami i funkcjąI co? Może tak być? Czy tak wyglądać może wykres funkcji? Czy jednak mamy tu jakiś problem?

Problem

Oczywiście mamy. To, co jest powyżej nie może być wykresem funkcji. Sięgnijmy do źródeł, funkcja z definicji to przyporządkowanie, które każdemu argumentowi x przyporządkowuje dokładnie jedną wartość y. A co wynika z naszego wykresu?

Wykres z zaznaczonym argumentem x0Odczytać można z niego, że na przykład argumentowi x_0 przyporządkowane są dwie wartości – y_1 i y_2. A tak nie może być w wykresie funkcji, bo w niej każdemu argumentowi x odpowiadać musi tylko jedna wartość y.

Zatem funkcja nie może mieć dwóch różnych asymptot ukośnych przy x{right}{+infty}. Całe rozumowanie można powtórzyć odpowiednio dla x{right}{-infty} 🙂