Moje matematyczne
rozwiązania dla studentów

Wartości i wektory własne macierzy

Macierz jednostkowa narysowana na tablicy

Wektory i wartości własne – a co to?

Wartości i wektory własne macierzy pojawiają się (albo i nie) na studiach jako rozszerzenie tematu macierzy . Nie ująłem ich w swoim Kursie , dlatego zainteresowanym tematem ten post może się naprawdę przydać.

Co już trzeba umieć?

  • macierze
  • równania wielomianowe ze średniej (najczęściej tylko drugiego i trzeciego stopnia)

Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku

  1. Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy A. Tylko.
  2. Obliczasz macierz {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I gdzie \lambda to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a I to macierz jednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera).
  3. Liczysz wyznacznik macierzy {{A}_{\lambda }}.
  4. Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots .
  5. Pierwiastki wstawiasz kolejno do równania: {{A}_{\lambda }}X=0, gdzie X jest niewiadomym wektorem (czyli macierzą jednokolumnową). Rozwiązujesz te równanie. Rozwiązaniem będzie pewien zbiór wektorów X , z których każdy można nazwać  wektorem własnym.

Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy A=\left[ \begin{matrix}  3 & 2 \\  4 & 1 \\  \end{matrix} \right].

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według schematu wyżej.

1.

A=\left[ \begin{matrix}  3 & 2 \\  4 & 1 \\  \end{matrix} \right]
2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}  3 & 2 \\  4 & 1 \\  \end{matrix} \right]  -\lambda \cdot  \left[ \begin{matrix}  1 & 0 \\  0 & 1 \\  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}  3 & 2 \\  4 & 1 \\  \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}  \lambda & 0 \\  0 & \lambda \\  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}  3-\lambda & 2 \\  4 & 1-\lambda \\  \end{matrix} \right]
3.
\left| \begin{matrix}  3-\lambda & 2 \\  4 & 1-\lambda \\  \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5
4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
Wartości własne macierzy to: -1 i 5.
5.

Dla {{\lambda }_{1}}=-1:
{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}  3-\left( -1 \right) & 2 \\  4 & 1-\left( -1 \right) \\  \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}  4 & 2 \\  4 & 2 \\  \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}  4 & 2 \\  4 & 2 \\  \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}  4 & 2 \\  4 & 2 \\  \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}  x \\  y \\  \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}  0 \\  0 \\  \end{matrix} \right]
Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.
Czyli musi być spełniona zależność:
4x+2y=0
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par x i y, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej {{\lambda }_{1}}=-1 jest nieskończenie wiele. Na przykład ustalając sobie x=1 otrzymam 4\cdot 1+2y=0, czyli y=-2. Przykładowy wektor własny zatem to:

\left[ \begin{matrix}  1 \\  -2 \\  \end{matrix} \right]

Ogólnie zaś wektory własne będą miały współrzędne:

\left[ \begin{matrix}  x \\  -2x \\  \end{matrix} \right]

bo z zależności 4x+2y=0 można wyliczyć, że y=-2x.

 

 

Dla {{\lambda }_{2}}=5:
{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}  3-5 & 2 \\  4 & 1-5 \\  \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}  -2 & 2 \\  4 & -4 \\  \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}  -2 & 2 \\  4 & -4 \\  \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}  -2 & 2 \\  4 & -4 \\  \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}  x \\  y \\  \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}  0 \\  0 \\  \end{matrix} \right]
Teraz (znowu mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.
Układ jest – jak zawsze tutaj – nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), ale mam zależność:

-2x+2y=0

x=y
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par, w których x=y, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej {{\lambda }_{2}}=5 jest nieskończenie wiele i ogólnie mają równanie:

\left[ \begin{matrix}  x \\  x \\  \end{matrix} \right]

Na przykład ustalając sobie x=1 otrzymam wektor własny:

\left[ \begin{matrix}  1 \\  1 \\  \end{matrix} \right]

 

 

Przykład 2 (z macierzą kwadratową 3 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy A=\left[ \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  -6 & 1 & -6 \\  -3 & 1 & -1 \\  \end{matrix} \right].

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według tego samego schematu.

1.

A=\left[ \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  -6 & 1 & -6 \\  -3 & 1 & -1 \\  \end{matrix} \right]
2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  -6 & 1 & -6 \\  -3 & 1 & -1 \\  \end{matrix} \right]  -\lambda \cdot  \left[ \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}  2 & 1 & 0 \\  -6 & 1 & -6 \\  -3 & 1 & -1 \\  \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}  \lambda & 0 & 0 \\  0 & \lambda & 0 \\  0 & 0 & \lambda \\  \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}  2-\lambda& 1 & 0 \\  -6 & 1-\lambda & -6 \\  -3 & 1 & -1-\lambda \\  \end{matrix} \right]
3.

\left| \begin{matrix}  2-\lambda& 1 & 0 \\  -6 & 1-\lambda & -6 \\  -3 & 1 & -1-\lambda \\  \end{matrix} \right|

Liczę regułą Sarrusa i mam:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22
4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

Teraz myk z grupowaniem wyrazów (jak w szkole średniej):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0
\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

Czyli:

{{\lambda }^{2}}+11=0 lub -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych (ale jeśli Twój profesor wymaga liczenia wartości własnych także w liczbach zespolonych to do boju, będziesz tu normalnie miał dwa pierwiastki – liczby zespolone).

-\lambda +2 = 0

\lambda = 2
Wartością własną (w liczbach rzeczywistych) macierzy jest: 2 .
5.

Dla \lambda=2:
\left[ \begin{matrix}  2-2& 1 & 0 \\  -6 & 1-2 & -6 \\  -3 & 1 & -1-2\\  \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}  0& 1 & 0 \\  -6 & -1 & -6 \\  -3 & 1 & -3\\  \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}  0& 1 & 0 \\  -6 & -1 & -6 \\  -3 & 1 & -3\\  \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}  0& 1 & 0 \\  -6 & -1 & -6 \\  -3 & 1 & -3\\  \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}  x \\  y \\  z \\  \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}  0 \\  0 \\  0 \\  \end{matrix} \right]
Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.
Pamiętasz, że jest to zawsze układ nieoznaczony, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Żeby go rozwiązać, możesz zastosować twierdzenie Kroneckera – Capellego, ale ten tutaj jest wyjątkowo prosty. Uwzględniając, że mam na dzień dobry y=0 mam z pozostałych dwóch równań:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

 

A z tych równań mam zależność z=-x. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej \lambda=2 jest nieskończenie wiele i można je opisać zależnością:

\left[ \begin{matrix}  x \\  0 \\  -x \\  \end{matrix} \right]

 

Przykładowym wektorem własnym zaś mógł by być:

\left[ \begin{matrix}  1 \\  0 \\  -1 \\  \end{matrix} \right]

 

Jak policzyć wektory i wartości własne w Wolframie?

Jeśli potrzebujesz tylko gotowych rozwiązań, albo chcesz sobie sprawdzić wynik, możesz skorzystać z internetowego kalkulatora Wolframa . Wejdź na stronę:

www.wolframalpha.com

Potem wpisz w wyszukiwarkę macierz, do której wartości i wektory własne chcesz policzyć w następujący sposób:

{{elementy 1-go wiersza przedzielone przecinkami},{elementy 2-go wiersza przedzielone przecinkami},…}

Na przykład:

Przykład macierzy wpisanej w wyszukiwarkę Wolfram

Potem już tylko zatwierdź klikając na ENTER.

Wielomian charakterystyczny – możesz odczytać z pola Characteristic polynomial

Wartości własne – możesz odczytać z pola Eigenvalues

Wektory własne – możesz odczytać z pola Eigenvectors

 

Video

W innym poście nagrałem również video, w którym pokazuję obliczanie wartości i wektorów własnych na 3 przykładach, zapraszam:

Wartości i wektory własne – 3 przykłady Video

 

Dziękuję

Mam nadzieję, że po przeczytaniu tego posta i zrobieniu kilku przykładów nie będziesz miał problemów z liczeniem wartości i wektorów własnych na studiach.

Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości, albo przykłady, których nie rozumiesz – daj mi znać w komentarzach pod postem.

Jeśli zaś całość podobała Ci się, kliknij na ‚Lubię to!’ albo na ‚+1′ pod tym postem, jeszcze raz wielkie dzięki.

Kurs Macierze eTrapezNaucz się macierzy z mojego Kursu Video

W tym Kursie dzielę się wiedzą zgromadzoną przez kilkanaście lat intensywnego nauczania macierzy studentów różnych uczelni. Zawiera:
  • 260 minut nagrań Video
  • 70 pytań testowych
  • 100 wybranych przykładów do samodzielnego rozwiązania
...czyli wszystko, co potrzebujesz, by zadziwić samego siebie na egzaminie z macierzy! Button przekierowujący na stronę Kursu eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję w swoich Kursach Video, na blogu, oraz w darmowym ebooku i Kursie Video WolframAlpha - Praktyczny Przewodnik.

Komentarze

  1. Mateusz Przybyła napisał:

    Drogi Krystianie,

    Wszystko fajnie opisane tylko zapomniałeś o napisaniu jednej, ważnej rzeczy. Wektor własny nie może być wektorem zerowym, więc przy wybieraniu przykładowego wektora musimy pamiętać, aby parametry dobrać tak, by właśnie otrzymać niezerowy wektor :)

    Pozdrawiam

    • Krystian Karczyński napisał:

      A no tak, rzeczywiście, wektor własny nie może być wektorem zerowym!

      Czyli mając równanie ogólne wektorów własnych np. \left[ \begin{matrix}    x \\    -x \\    2x \\ \end{matrix} \right]

      NIE możemy przyjąć sobie, że dla x=0 wektorem własnym jest \left[ \begin{matrix}    0 \\    -0 \\    2\cdot 0 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}    0 \\    0 \\    0 \\ \end{matrix} \right] bo z definicji wektor własny nie może być wektorem zerowym.

      Dzięki za dobrą uwagę i uzupełnienie, Mateusz :)

  2. Dominika napisał:

    a można też to rozwiązać sprowadzając do postaci wierszowo zredukowanej, prawda ? powiedzmy mam taki przykład … \left[\begin{matrix}4&-6&0&0\\1&-1&0&0\&0&1&0\&0&0&2\end{matrix}\right] obliczam wartości własne… i powiedzmy, że chce znaleźć wektory dla \lambda = 2 powstała mi taka macierz \left[\begin{matrix}2&-6&0&0\\1&-3&0&0\&0&-1&0\&0&0&0\end{matrix}\right] teraz mam problem bo nie jestem do końca pewna jak sprowadzić ją do postaci wierszowo zredukowanej i jak wówczas odczytać wektory własne tej macierzy.

  3. Jacek napisał:

    To sie nazywa prawdziwy matematyk-pedagog. Krok po kroku sensownie wytlumaczone.
    Pozdrawiam i dzieki za odswiezenie ”starych smieci” :)

  4. Anna napisał:

    $latex\left[\begin{matrix}2&0&1\&2&0\\1&0&2\end{matrix}\right]$ dla tej macierzy obliczyłam wartość własną równą 6. Wolfram pokazuje mi 3 wartości, równe kolejno 3,2 oraz 1. czy to oznacza, że mój wynik jest zły i dla tej macierzy istnieją 3 wartości własne?

  5. Prosto pokazane jak liczyć, tak ma być, podoba mi się. Pozwolę sobie o zamieszczenie linka do siebie z interpretacją geometryczną.
    http://www.kowalskimateusz.pl/wektory-i-wartosci-wlasne-eigenvalues-and-eigenvectors/
    Pozdrawiam serdecznie i życzę dużo czytelników.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Świetny artykuł, więcej takich linków :)

      Wielkie dzięki, bardzo podoba mi się Twój blog, również powodzenia!

  6. Adam napisał:

    Panie Krystianie, dziękuję bardzo za ten „wykład” oraz film na ten sam temat – bardzo się przydały przed zbliżającą się poprawką we wrześniu.
    Mam jednak pytanie związane z tym tematem, na które nie znalazłem odpowiedzi – jak sprawdzić kiedy macierz jest diagonalizowalna?

    Pozdrawiam serdecznie!

  7. Ania napisał:

    Świetnie wytłumaczone, dziękuje .
    Jednak mam pytanie na egzaminie ustnym po co oblicza się te wartości własne?

  8. RIJ napisał:

    Mam daną macierz A i obliczam w niej wartości własne i wektory. Czy bez liczenia A^2, A^3, A^(-1) można powiedzieć jakie będą wektory i wartości własne?

  9. Ania napisał:

    Dzień dobry, szukam i szukam, i znaleźć nie mogę… A co w przypadku, gdy macierz M ∈ M2(ℤ7)? odrazu liczę ją w ℤ7 cz na końcu to nakreślam? Bo jak odrazu liczę to dziwe wyniki wychodzą. Dziękuję za wskazówki.

Jak dodać formułę matematyczną do komentarza? - kliknij tutaj

Skomentuj, zapraszam