Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Rząd macierzy w układach równań liniowych z parametrem

 

Rząd macierzy Wykład 4

 

Temat: Układy równań liniowych z parametrem

 

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w układach równań liniowych z parametrem określać ich liczbę rozwiązań przy pomocy rzędów macierzy (a nie jak na ogół wzorami Cramera).

Układy równań liniowych z parametrem

W układach równań liniowych z parametrem, na przykład:

Układ równeń linowych z parametrem "kwadratowy"można rozpoznać po uroczej literce a, albo: alpha. Dla różnych wartości a (np.a=2,a=0,a=7) otrzymamy różne rozwiązania układu. Być może dla niektórych wartości a otrzymamy układ sprzeczny, który nie ma rozwiązań. Być może dla niektórych wartości a otrzymamy układ nieoznaczony, czyli taki, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Nasze zadanie polega na ogół nie na rozwiązywaniu układu, tylko na określeniu, dla jakich wartości parametru układ ma 1 rozwiązanie (jest oznaczony), nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), a dla jakich nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Liczba rozwiązań układu zależna od rzędu macierzy

Do wyznaczenie liczby rozwiązań układu możemy wykorzystać wzory Cramera i wyznaczników, ale w niektórych układach wygodniejsze będzie skorzystanie z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Przypomnijmy, że z tego twierdzenia wynika, że…

1. Układ jest oznaczony (ma 1 rozwiązanie), gdy:

rz(A)=rz(U)=n – rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest równy liczbie niewiadomych

2. Układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), gdy:

rz(A)=rz(U)<n – rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest mniejszy od  liczby niewiadomych

3. Układ jest sprzeczny (brak rozwiązań), gdy:

rz(A) – rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej rz(U)

Ogólna metoda postępowania

Aby wykorzystać rząd macierzy do określenia liczby rozwiązań równania w zależności od parametru, będziemy postępowali następująco:

– wyznaczali rząd macierzy głównej rz(A)

– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy głównej rz(A) przyjmuje różne wartości

– wyznaczali rząd macierzy uzupełnionej

– określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy uzupełnionej rz(U) przyjmuje różne wartości

– określali liczby rozwiązań układu równań w zależności od A korzystając z wniosków z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Przed pójściem dalej przypomnij sobie koniecznie, jak obliczało się rząd macierzy!

Przykład

Określmy liczbę rozwiązań w zależności od parametru a w układzie:

Układ równań liniowych z parametrem - przykładNa początku obliczamy rząd macierzy głównej A, czyli:

Rząd macierzy głównej - przykład

Rząd tej macierzy wyjdzie (po obliczeniu) równy 2. Zauważmy, że rząd macierzy głównej nie zależy w ogóle od parametru a. Przyjmuje po prostu zasze wartość 2. Nie rozpisujemy więc, że dla pewnych a jest równy 1, dla innych 2, a dla innych 3. On jest po prostu zawsze równy 2 dla dowolnego a. Można zapisać:

rz(A)=2 dla a{in}{bbR}

Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej U, czyli:

Rząd macierzy uzupełnionej - przykład

Będzie to już trochę trudniejsze, bo w macierzy, której rząd mamy policzyć występuje parametr a. Nie przejmujemy się jednak tym – traktujemy a jak zwykłą liczbę. „Wyzerujmy” na przykład trzecią kolumnę (pierwszy wiersz dodajemy do drugiego i pierwszy wiersz mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego). Otrzymamy:

Rząd macierzy uzupełnionej z wyzerowaną trzecią kolumną - przykład

Zauważmy, że w ostatniej kolumnie działamy najnormalniej w świecie: 1 mnożymy przez 4 i dodajemy do a. Teraz wykreślamy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę (zgodnie z zasadami obliczania rzędów) i zwiększamy rząd macierzy o 1. Mamy:

Rząd macierzy uzupełnionej z wykreśloną trzecią kolumną - przykład

Teraz „zerujemy” drugą kolumnę, mnożąc pierwszy wiersz przez -3 i dodając do drugiego.

Rząd macierzy uzupełnionej z wyzerowaną kolejną kolumną- przykład

Po wykreśleniu trzeciej kolumny otrzymamy:

Rząd macierzy z wykreśloną kolejną kolumną - przykładTeraz zwróćmy uwagę, że rząd macierzy, jaka nam pozostała po tych wszystkich wykreśleniach zależy od parametru a.

Jeżeli a będzie równe 5, macierz będzie składała z samych zer, a rząd macierzy będzie wtedy równy 0. W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 2.

Jeżeli a będzie jednak różne od 5, macierz będzie miała element niezerowy, a rząd macierzy będzie wtedy równy 1.W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 3.

Można to zapisać:

rz(U)=2 dla a=5

rz(U)=3 dla a różnego od 5

Podsumowując wartości rzędów macierzy głównej i uzupełnionej otrzymujemy:

rz(A)=rz(U)=2 dla a=5

rz(A)=2 i rz(U)=3 dla a różnego od 5

Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla a=5 (bo wtedy rzędy macierzy są równe i mniejsze od liczby niewiadomych), a nie ma w ogóle rozwiązań dla a różnego od 5 (bo wtedy rządy macierzy są różne).

Przypadek, gdzie układ ma 1 rozwiązanie nie zachodzi nigdy.

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak rozwiązywać układy równań z użyciem rzędu macierzy (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak radzić sobie z układami równań liniowych bez użycia rzędu macierzy (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

8 komentarzy na “Rząd macierzy w układach równań liniowych z parametrem”

  1. Romek 14 marca 2013 o 22:44 Link do komentarza

    Treść zadania brzmi: Określ liczbę rozwiązań, w zależności od a.

    6x + 5y + z – 2w = 1
    x + 2y + z + 6w = 2
    -x – 4y + 3z + 4w = -1
    ax + 6y – 2z + 2w = 3

    Policzyłem rząd macierzy głównej i wyszedł mi 4 – jednak po skreśleniu kolumny zawierającej a
    Policzyłem rząd macierzy uzupełnionej i wyszedł mi 3 – tym razem po wykreśleniu wiersza zawierającego a

    Proszę (wiem, że o wiele) o rozwiązanie takiego przykładu bądź o wskazówki. Jak zinterpretować powyższe.

    Czy słusznie postąpiłem? – Co oznacza wykreślenie parametru w obliczaniu rzędów w takim zadaniu?

  2. Daniel 4 kwietnia 2013 o 14:04 Link do komentarza

    Nie wiem czy dobrze, ale parametr „a” wynosi 2. Jak wstawisz za „a” 2 to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań bo R(A) i R(U) wynosi 3. Rzędy są wiec niższe od liczby niewiadomych.
    Jak „a” jest różne od dwóch to R(A) i R(U) wynosi 4 i masz jedno rozwiązanie. A czy zachodzi sytuacja że układ jest sprzeczny to nie wiem…..
    Oczywiście to co napisałem to tylko moja sugestia….
    Pozdrawiam

  3. Jacek 8 grudnia 2014 o 21:57 Link do komentarza

    Swietne wytlumaczenie krok po kroku. Zastanawiam sie jak bedziemy jechac dalej jesli chcemy znalezc teraz rozwiazanie tego ukladu ktore bedzie zawieralo te dwa parametry. Zakladam, ze wracamy do macierzy glownej A i wybieramy z niej dowolny minor stopnia 2 o niezerowym wyznaczniku i budujemy uklad rownan? wtedy dostajemy tylko dwa uklady rownan w kazdym po dwa parametry. Czy tak?

  4. Karolina 18 listopada 2015 o 21:25 Link do komentarza

    A co jeśli muszę rozwiązać układ równań, identyczny jak Pana, tylko w drugim równaniu wynik to a, natomiast w trzecim wynik to a^2?

  5. Rafał 27 stycznia 2016 o 14:15 Link do komentarza

    A co jeśli mamy parametr także w macierzy głównej?

    x+ay-3z=0
    x+y+z=0
    3x+ay-z=0

  6. HBR 8 stycznia 2017 o 16:17 Link do komentarza

    Rząd macierzy A wynosi 3 a nie 2

Dodaj komentarz