Równania wielomianowe zespolone sprowadzalne do równań kwadratowych

Sprowadzanie do równań kwadratowych niektórych równań stopnia 4

Wiele równań wielomianowych 4-tego stopnia da się przekształcić na równania kwadratowe znaną dobrze ze szkoły średniej sztuczką opisaną tutaj:

Sprowadzanie do równania kwadratowego

Działa to oczywiście i jak najbardziej także dla wielomianów w liczbach zespolonych.

Przypominam, chodzi o to, że mając równanie:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

Podstawiamy: {{z}^{2}}=t

I wychodzimy na równanie kwadratowe:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

Dalej rozwiązujemy je zwykłą deltą i tak dalej, mamy rozwiązania t_1,t_2, pamiętając o tym, że z^2=t tworzymy z nich dwa następne równania:

z^2=t_1 lub z^2=t_2

Rozwiązujemy je i mamy cztery rozwiązania: z_1,z_2,z_3,z_4.

 

Sprowadzanie do równań kwadratowych niektórych równań większych stopni

Absolutnie nic nie stoi na przeszkodzie, aby tą metodę rozszerzyć na równania stopni większych niż 4 (jeżeli oczywiście dają się one sprowadzić do kwadratowych przez podstawienie).

A więc mając:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

Można także zauważyć, że jest ono równoważne:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

I po podstawieniu: z^3=t

Wychodzimy na kwadratowe:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

 

W równaniu:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

Po podstawieniu: x^5=t

Mamy:

{{t}^{2}}-3t+1=0

 

I tak dalej, i tak dalej…

 

Przykład

Weźmy równanie:

z^6+(1-i)z^3-i=0

Podstawiamy z^2=t i mamy:

t^2+(1-i)t-i=0

Dalej liczymy:

{Delta}=(1-i)^2-4*1*(-i)=1-2i+i^2+4i=2i

sqrt{Delta}=sqrt{2i}

Liczymy te pierwiastki znanymi z liczb zespolonych metodami (pokazanym np. w moim Kursie ).

Mamy sqrt{Delta}=1+i lub sqrt{Delta}=-1-i

Czyli:

t_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a} ={-(1-i)-(1+i)}/2={-2}/2=-1

t_1={-b+sqrt{Delta}}/{2a} ={-(1-i)+(1+i)}/2={2i}/2=i

Pamiętamy, że to nie są jeszcze rozwiązania, bo z^3=t

Czyli mamy do rozwiązania równania:

z^3=-1

oraz:

z^3=i

Przekształcamy je na:

z=root{3}{-1} oraz z=root{3}{i}

i obliczając znowu znanymi metodami mamy trzy pierwiastki z pierwszego równania:

z_1=1/2+i{{sqrt{3}}/2}

z_2=-1

z_3=1/2-i{{sqrt{3}}/2}

Oraz trzy pierwiastki z drugiego równania:

z_4={sqrt{3}}/2+{1/2}i

z_5=-{{sqrt{3}}/2}+{1/2}i

z_6=-i

 

Rozwiązane 🙂

Kurs Liczby Zespolone

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 270 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 75 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (liczby zespolone w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej