Co Można Zrobić, Gdy Potęgowanie Po Prostu Nie Idzie (Liczby Zespolone)

Studentka przy tablicy z matematycznymi wzoramiBywają takie dni, w których po prostu nic się nie udaje.

Bywają także takie przykłady z liczb zespolonych, w których nic nie idzie. Znane i wykute metody nie pomagają.

Weźmy na przykład taki sobie niewinne potęgowanie:

{( 1+2i )^8}

Drepcząc wydeptaną już w wielu przykładach ścieżką chcesz zapisać liczbę 1+2i w postaci trygonometrycznej i później podnieść do ósmej potęgi z odpowiedniego wzoru.

Liczysz więc moduł:

delim{|}{z}{|}=sqrt{1^2+2^2}=sqrt{5}

Liczysz sinusa i cosinusa argumentu głównego:

cos{varphi}=1/{sqrt{5}}

sin{varphi}=2/{sqrt{5}}

Znaki przy cosinus i sinus są na plus, zatem kąt jest z pierwszej ćwiartki, ale na tym się kończy Twoje szczęście.

Niestety wartości sinusa i cosinusa: 1/{sqrt{5}} i 2/{sqrt{5}} nie znajdziesz w tabelce podstawowych wartości trygonometrycznych. Nic dziwnego – kąt varphi, którym on odpowiada to nie jest kąt ani 0, ani 30, ani 45, ani 60, ani 90 stopni.

Czyli PROBLEM.

 

Co można zrobić?

Sytuacja, w której liczba podniesiona do potęgi nie daje się tak łatwo przekształcić na postać trygonometryczną może się zdarzyć. Niestety.

Ale nikt nie powiedział, że ta sama liczba PODNIESIONA DO KWADRATU (na przykład) nadal będzie „nieprzekształacalna”.

No to spróbuj:

(1+2i)^8=[(1+2i)^2]^4=(1+4i+4i^2)^4=(-3+4i)^4

Zamiast liczby: 1+2i na postać trygonometryczną przekształcasz więc liczbę -3+4i

Niestety z równie opłakanym rezultatem, bo mimo, że moduł wyjdzie ładny i okrągły, to wartości sinusa i cosinusa nadal nie dasz rady odczytać z tabelki.

Co teraz?

Powtórz manewr 🙂

(-3+4i)^4=[(-3+4i)^2]^2=(16i^2-24i+9)^2=(-7-24i)^2

A tutaj zamiast męczyć się już w trygonometryczną, po prostu podnieś to do kwadratu w postaci algebraicznej:

(-7-24i)^2=49+336i+576i^2=-527+336i

W ten oto sposób, zauważ, nie tykając właściwie postaci trygonometrycznej (bo się nie dało), dosyć – chyba jeszcze bezboleśnie – policzyliśmy w miarę wysoką potęgę liczby zespolonej:

(1+2i)^8=[(1+2i)^2]^4=(1+4i+4i^2)^4=(-3+4i)^4=[(-3+4i)^2]^2=(16i^2-24i+9)^2=

~=(-7-24i)^2=49+336i+576i^2=-527+336i

Oczywiście. To nie zawsze „zadziała”. Ale może czasami pomóc, prawda? 🙂

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej