Postać (prawie) trygonometryczna liczby zespolonej

Rozwiązując zadania z liczb zespolonych należy mieć na uwadze, że liczba zespolona w postaci trygonometrycznej wygląda tak:

z=delim{|}{z}{|}(cos{varphi}+isin{varphi})

I tylko tak. Nie mniej, nie więcej.

Należy więc zwrócić uwagę na:

Kiedy liczba zespolona jest, a kiedy nie jest w postaci trygonometrycznej?

  1. Liczba: cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12} JEST liczbą w postaci trygonometrycznej, w której moduł z liczby równy jest 1 (delim{|}{z}{|}=1), bo oczywiście:
    cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12}=1(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})
  2. Liczba: cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‚i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę do postaci trygonometrycznej, należy skorzystać ze wzorów trygonometrycznych:
    cosx=cos(~-x)
    sinx=-sin(~-x)
    Korzystając z tych wzorów możemy przekształcić:
    cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}=cos(~-{pi}/12)-delim{[}{~-isin(~-{pi}/12)}{]}=cos(~-{pi}/12)+isin(~-{pi}/12)
    Funkcje sinus i cosinus są 2{pi}-okresowe, zatem ich wartość jest taka sama co 2{pi}. Więcej na ten temat napisałem w: tym poście.
    Mamy więc na koniec:
    cos(~-{pi}/12)+isin(~-{pi}/12)=cos{1{11/12}pi}+isin{1{11/12}pi}
    …a to już JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
  3. Liczba: ~-cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed jednostką urojoną ‚i’ pomnożoną przez sinus jest minus, a powinien być plus, oraz przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:
    ~-cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}=-1(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})
    Zamienić na boku liczbę -1 na postać trygonometryczną (to już chyba umiemy…):
    -1=cos{pi}+isin{pi}
    A więc mamy mnożenie dwóch liczb w postaci trygonometrycznej:
    -1(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})=(cos{pi}+isin{pi})(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})
    A mnoży się liczby w postaci trygonometrycznej mnożąc ich moduły i dodając argumenty (jest na to wzór), mamy więc:
    (cos{pi}+isin{pi})(cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12})=cos{1{1/12}pi}+isin{1{1/12}pi}
    To już zaś JEST liczba w postaci trygonometrycznej.
  4. Liczba: ~-cos{{pi}/12}+isin{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest minus, a powinien być plus.
    Aby przekształcić tą liczbę zespoloną do postaci trygonometycznej, należy wyłączyć minus przed nawias:
    ~-cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12}=-1(cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12})
    Liczbę -1 należy zamienić na postać trygonometryczną (robiliśmy to w punkcie 3), tak samo na postać trygonometryczną należy zamienić liczbę cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12} (robiliśmy to w 2.).
    Otrzymamy:
    -1(cos{{pi}/12}-isin{{pi}/12})=(cos{pi}+isin{pi})(cos{1{11/12}pi}+isin{1{11/12}pi})
    Czyli wykorzystując wzór na mnożenie funkcji trygonometrycznych:
    (cos{pi}+isin{pi})(cos{1{11/12}pi}+isin{1{11/12}pi})=cos{2{11/12}pi}+isin{2{11/12}pi}
    I wykorzystując 2{pi} okresowość funkcji sinus i kosinus:
    cos{2{11/12}pi}+isin{2{11/12}pi}=cos{{11/12}pi}+isin{{11/12}pi}
  5. Liczba: sin{{pi}/12}+icos{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej, bo przed kosinusem jest jednostka urojona ‚i’ (a nie powinno jej tam być), a przed sinusem nie ma jednostki urojonej ‚i’.
    Należy skorzystać ze znanych ze szkoły średniej wzorów trygonometrycznych:
    cosx=sin({pi}/2-x)
    sinx=cos({pi}/2-x)
    Mamy więc:
    sin{{pi}/12}+icos{{pi}/12}=cos({pi}/2-{{pi}/12})+isin({pi}/2-{{pi}/12})=cos{5/12{pi}}+isin{5/12{pi}}
    A to już JEST liczba zespolona w postaci trygonometrycznej.
  6. Liczba: ~-sin{{pi}/12}+icos{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 4.
  7. Liczba: sin{{pi}/12}-icos{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 2.
  8. Liczba: ~-sin{{pi}/12}-icos{{pi}/12} NIE JEST liczbą zespoloną w postaci trygonometrycznej.
    Należy zamienić sinus z cosinusem tak jak zostało to zrobione w 5., a potem rozwiązać tak jak w 3.

Powodzenia! 🙂

Kurs Liczby Zespolone

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 270 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 75 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (liczby zespolone w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej