Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Instrukcja wpisywania formuł matematycznych do komentarzy

 

Komentarze – Latex

Na moim blogu możesz dodawać formuły i wzory matematyczne w języku Latex, pomiędzy tagami $latex i $.

Pełną listę formuł w języku Latex możesz znaleźć na przykład tutaj:

Kurs Latexa

Na przykład:

  • Aby wpisać do komentarza: x^2 musiałbyś wpisać w pole komentarza: latex x^2
  • Aby wpisać do komentarza: \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x} musiałbyś wpisać w pole komentarza: latex \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{3}}}{\ln x}
  • Aby wpisać do komentarza: \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx} wpisz w pole komentarza:latex \int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2 \right)dx}
  • Aby wpisać do komentarza: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1} wpisz w pole komentarza:latex \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1}
  • Aby wstawić do Swojego komentarza macierz: \left[ \begin{matrix}  3&0\\ 4&-2  \end{matrix} \right] wpisz w pole komentarza: latex \left[ \begin{matrix} 3&0\\ 4&-2 \end{matrix} \right]

 

Nie bój się eksperymentować, w razie błędu poprawię Twoją formułę!

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

38 komentarzy na “Instrukcja wpisywania formuł matematycznych do komentarzy”

  1. Jacek 2 czerwca 2011 o 17:45 Link do komentarza

    Witam.
    Mam problem z obliczeniem tej całaki oznaczonej. Prosiłem o pomoc już kilka osób, ale nie potrafią mi pomóc. Czy jesteście w stanie to rozwiązać?
    int{1}{2}{1/x(x^3-1)}

    • Krystian Karczyński 2 czerwca 2011 o 18:31 Link do komentarza

      Miało być tak: int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}} – prawda?

    • Krystian Karczyński 4 czerwca 2011 o 04:05 Link do komentarza

      Jeżeli miało być tak: int{1}{2}{1/{x(x^3-1)}}dx

      to:

      1. To nie jest całka oznaczona, to jest całka niewłaściwa (proszę wstawić 1 z granic całkowania, dostaniemy dzielenie przez zero).

      2. Trzeba policzyć całkę nieoznaczoną taką: int{}{}{1/{x(x^3-1)}}dx

      Jest to żmudna, ale nie taka trudna, całka wymierna. Wyjdzie wynik (z kalkulatora wzięty) taki:

      -ln{delim{|}{x}{|}}-{1/3}ln{delim{|}{x^3-1}{|}}+C

      3. Nie możemy wstawić do wyniku na żywca granic całkowania (to jest całka niewłaściwa), wstawiamy więc zamiast 1 epsilon{right}1 i przechodzimy do granicy, która równa będzie:

      -{infty}

      Jest to więc całka ROZBIEŻNA. Co do znaku nieskończoności mogłem się dziabnąć z tym kalkulatorem, ale całka jest ROZBIEŻNA.

  2. Martyna 1 kwietnia 2012 o 11:23 Link do komentarza

    Witam. Mam prośbę. Chodzi o rozwiązanie takich przykładów do polecenia: Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji….., wyznaczyć szeregi Maclaurina podanych funkcji.
    f(x)= x* e^{-2x}
    f(x)= cos (pix)

    • Krystian Karczyński 2 kwietnia 2012 o 12:32 Link do komentarza

      Ten pierwszy przykład poszedł na Facebooku, wkleję może jeszcze raz obrazek…

      Rozwinięcie xe^(-2x) w szereg Maclaurina

    • Krystian Karczyński 2 kwietnia 2012 o 19:54 Link do komentarza

      Co do tego drugiego przykładu, zgaduję trochę, że chodzi o to, aby rozwinąć \cos \pi x korzystając ze znanego już rozwinięcia \cos x – prawda?

      No więc nasze ZNANE już na wejściu rozwinięcie \cos x w szereg Maclaurina wygląda tak:

      \cos x=1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}-\frac{{{x}^{6}}}{6!}+\frac{{{x}^{8}}}{8!}\pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{x}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}

      Żeby zaś rozwinąć \cos \pi x wstawiamy po prostu do niego wszędzie w miejsce x -> \pi x i mamy:

      \cos \pi x=1-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2}}}{2!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{4}}}{4!}-\frac{{{\left( \pi x \right)}^{6}}}{6!}+\frac{{{\left( \pi x \right)}^{8}}}{8!}\pm \ldots =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}\frac{{{\left( \pi x \right)}^{2n}}}{\left( 2n \right)!}}

      Wszystko 🙂

  3. Łukasz 19 kwietnia 2012 o 23:12 Link do komentarza

    Witam. Mam problem ze zbadaniem ekstremów globalnych funkcji: f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2 W obszarze: x=0; y=0; x+y=5 Nie mogę jednoznacznie wyliczyć miejsca zerowego pierwszej pochodnej. Punkt podejrzewany o to, że może być ekstremum wyszedł mi P1(0,0). Uważam, że nie należy on do obszaru D, a leży na jego brzegu. Czy ten punkt jest ekstremum globalnym funkcji, czy ekstremum w takim razie w ogóle nie istnieje? Dziękuję za wyjaśnienie tego przykładu. Pozdrawiam.

    • Krystian Karczyński 20 kwietnia 2012 o 09:17 Link do komentarza

      Witam!

      1. Jeśli punkt, w którym obie pochodne cząstkowe równe są zero wychodzi na brzegu nie ma problemu – NALEŻY on do obszaru i być może jest ekstremum globalnym.

      2. W tym konkretnym przykładzie punkt (0,0) nie jest jedynym „miejscem zerowym” pochodnych cząstkowych, oprócz niego są to punkty : {{P}_{1}}\left( -\sqrt{2},\sqrt{2} \right),{{P}_{2}}\left( \sqrt{2},\sqrt{-2} \right)

      3. Trzeba pamiętać o sprawdzeniu największych/najmniejszych wartości na brzegach obszaru być może ekstrema globalne są właśnie tam, a nie w „miejscach zerowych” pochodnych cząstkowych. Chociaż akurat nie w tym przypadku. Pokazuję, jak to się robi w moim Kursie.

      4. Rozwiązanie tego konkretnego zadania można sprawdzić w Wolframie: Rozwiązanie 🙂

      • Łukasz 20 kwietnia 2012 o 19:02 Link do komentarza

        dziękuję za odpowiedź.Sprawdzałem min.i max. wartości na brzegach obszaru .Wychodzi mi między innymi f(5)=575. To jest chyba jakiś błędny wynik. Poza tym na brzegu o równaniu y=5-x jak podstawiłem to równanie do funkcji początkowej f(x,y) to wyszła mi jakaś masakra.Nawet nie policzyłem z tego pochodnej. Gdzieś popełniam chyba błąd lub czegoś nie rozumiem. Proszę o pomoc.
        Łukasz.

        • Anna Zalewska 3 listopada 2016 o 03:32 Link do komentarza

          f left parenthesis x comma y right parenthesis equals x to the power of 4 plus y to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x y minus 2 y squared

          Zaczniemy od wyznaczenia pochodnych I-go rzędu:

          fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x cubed minus 4 x plus 4 y

          fraction numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 y cubed plus 4 x minus 4 y

          Obliczamy współrzędne punktów podejrzanych o ekstremum:

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 4 x cubed minus 4 x plus 4 y equals 0 space space space space space space space divided by colon 4 end cell row cell 4 y cubed plus 4 x minus 4 y equals 0 space space space space space space space divided by colon 4 end cell end table close

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x cubed minus x plus y equals 0 end cell row cell y cubed plus x minus y equals 0 end cell end table close

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative x cubed plus x end cell row cell y cubed plus x minus y equals 0 end cell end table close

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative x cubed plus x end cell row cell open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x minus open parentheses negative x cubed plus x close parentheses equals 0 end cell end table close

          open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x plus x cubed minus x equals 0

          open parentheses negative x cubed plus x close parentheses cubed plus x cubed equals 0

          open parentheses negative x cubed plus x space space plus space space x close parentheses open parentheses open parentheses negative x cubed plus x space close parentheses squared minus open parentheses negative x cubed plus x space close parentheses x plus x squared close parentheses equals 0

          open parentheses negative x cubed plus 2 x close parentheses open parentheses x to the power of 6 minus 2 x to the power of 4 plus x squared plus x to the power of 4 minus x squared plus x squared close parentheses equals 0

          open parentheses negative x cubed plus 2 x close parentheses open parentheses x to the power of 6 minus x to the power of 4 plus x squared close parentheses equals 0

          negative x open parentheses x squared minus 2 close parentheses x squared open parentheses x to the power of 4 minus x squared plus 1 close parentheses equals 0

          negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x to the power of 4 minus x squared plus 1 close parentheses equals 0

          negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x to the power of 4 plus 2 x squared plus 1 minus 3 x squared close parentheses equals 0

          negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses open parentheses x squared plus 1 close parentheses squared minus open parentheses square root of 3 x close parentheses squared close parentheses equals 0

          negative x cubed open parentheses x minus square root of 2 close parentheses open parentheses x plus square root of 2 close parentheses open parentheses x squared minus square root of 3 x plus 1 close parentheses open parentheses x squared plus square root of 3 x plus 1 close parentheses equals 0

          x equals 0 space logical or space x equals square root of 2 space logical or space x equals negative square root of 2 space space space space space space space open parentheses capital delta less than 0 close parentheses space space space space space space space space open parentheses capital delta less than 0 close parentheses

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals negative x cubed plus x end cell end table close

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals negative 0 cubed plus 0 end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative square root of 2 cubed plus square root of 2 end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals negative open parentheses negative square root of 2 close parentheses cubed plus open parentheses negative square root of 2 close parentheses end cell end table close

          open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 0 end cell row cell y equals 0 end cell end table close space logical or space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals square root of 2 end cell row cell y equals negative square root of 2 end cell end table close space space logical or space open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative square root of 2 end cell row cell y equals square root of 2 end cell end table close

           

          Punkty podejrzane o ekstremum to: open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses comma space open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses
          Wszystkie te punkty mieszczą się we wskazanym obszarze ograniczonym prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.

           

          Obliczamy pochodne cząstkowe II-go rzędu:

          fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x squared end fraction equals 12 x squared minus 4

          fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals 4

          fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4

           

          Macierz Hessego ma postać:

          H subscript f left parenthesis x comma y right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets

           

          H subscript f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals H subscript f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets

          M subscript 1 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 1 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 greater than 0

          M subscript 2 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 2 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0

          Zatem w punktach open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses oraz open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses podana funkcja ma minima lokalne właściwe. 

           

          H subscript f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets

          M subscript 2 left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0

          Na razie nie wiemy, czy w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f ma ekstremum. 

          Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Wtedy punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to maksimum lokalne funkcji f.

          Dla y equals x mamy:
           f left parenthesis x comma x right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4. Wtedy
          punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to minimum lokalne.

          Zatem w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f nie posiada ekstremum.

           

          Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.

           

          • Anna Zalewska 3 listopada 2016 o 12:42 Link do komentarza

            Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Minimum lokalne dla y equals 1. Zatem minimum lokalne w punkcie left parenthesis 0 comma 1 right parenthesis.
            f left parenthesis 0 comma 1 right parenthesis equals negative 1

            Dla y equals 0 mamy: f left parenthesis x comma 0 right parenthesis equals x to the power of 4 minus 2 x squared. Minimum lokalne dla  x equals 1.  Zatem minimum lokalne w punkcie left parenthesis 1 comma 0 right parenthesis.
            f left parenthesis 1 comma 0 right parenthesis equals negative 1

             

            Dla y equals 5 minus x mamy: f left parenthesis x comma 5 minus x right parenthesis equals 2 open parentheses 5 minus x close parentheses to the power of 4. Minimum lokalne dla x equals 5. Zatem minimum lokalne w punkcie left parenthesis 5 comma 0 right parenthesis
            f left parenthesis 5 comma 0 right parenthesis equals 575

            Ponadto obliczymy wartość w punkcie left parenthesis 0 comma 5 right parenthesis, ponieważ jest to wierzchołek trójkąta wyznaczonego przez zadany obszar. Wartość w drugim wierzchołku left parenthesis 5 comma 0 right parenthesis obliczyliśmy powyżej. W przypadku trzeciego wierzchołka left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis powyżej stwierdziliśmy, że nie jest ekstremum.
            f left parenthesis 0 comma 5 right parenthesis equals 575

            Obliczymy również wartości minimum w wyznaczonych wcześniej punktach wewnątrz obszaru:
            f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8
            f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 4 plus 4 minus 4 minus 8 minus 4 equals negative 8

  4. Kasia 25 kwietnia 2012 o 21:11 Link do komentarza

    Witam! Jak poradzić sobie z taką całką int{}{}{sqrt{e^x-1}dx} Bardzo proszę o pomoc 🙂

  5. Artur 9 listopada 2012 o 17:13 Link do komentarza

    Dzień dobry !
    Panie Krystianie mam do takie małe pytanie co do pewnej całki a mianowicie do \int\sqrt{x^{2}+1}dx

    Zrobiłem to przez pierwsze podstawienie Eulera i wyszedłem na coś takiego ( wynik końcowy)
    \int\sqrt{x^{2}+1}dx = (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^{2}+(1/2)*ln(sqrt(x^{2}+1)+x) - (1/8)*(sqrt(x^{2}+1)+x)^[-2} +C

  6. Artur 9 listopada 2012 o 17:19 Link do komentarza

    Co do wyniku końcowego to teraz myślę że uda mi się napisać poprawnie tą formułę
    \frac{1}{8}(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{2}+\frac{1}{2}ln|\sqrt{x^{2}+1}+x|-\frac{1}{8}(\sqrt{x^{2}+1}+x)^{-2}+C

    • Ryhor Abramovich 20 października 2016 o 13:43 Link do komentarza

      integral square root of x squared plus 1 end root d x

      Rozwiązanie:

      Stosujemy całkowanie przez części:

      integral u times v apostrophe equals u times v minus integral v times u apostrophe

       oraz rekurencję, i otrzymamy:

      integral square root of x squared plus 1 end root d x equals open vertical bar table row cell u equals square root of x squared plus 1 end root end cell cell v apostrophe equals d x end cell row cell u apostrophe equals fraction numerator 1 over denominator 2 square root of x squared plus 1 end root end fraction times 2 x d x equals fraction numerator x d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction end cell cell v equals x end cell end table close vertical bar equalssquare root of x squared plus 1 end root times x minus

      negative integral x times fraction numerator x d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equalsx times square root of x squared plus 1 end root minus integral fraction numerator x squared d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equalsx times square root of x squared plus 1 end root minus integral fraction numerator x squared plus 1 minus 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction d x equals

      x times square root of x squared plus 1 end root minus integral open parentheses fraction numerator x squared plus 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction minus fraction numerator 1 over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction close parentheses d x equalsx times square root of x squared plus 1 end root minus integral square root of x squared plus 1 end root d x plus integral fraction numerator d x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction equals

      x times square root of x squared plus 1 end root minus integral square root of x squared plus 1 end root d x plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses

      Niech

      integral square root of x squared plus 1 end root d x equals K. Wtedy

      K equals x times square root of x squared plus 1 end root minus K plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses

      Stąd przenosimy K z prawej strony tego równania do lewej i mamy:

      2 K equals x times square root of x squared plus 1 end root plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses,

      i ostatecznie:

      K equals integral square root of x squared plus 1 end root d x equals 1 half times open square brackets x times square root of x squared plus 1 end root plus ln open parentheses x plus square root of x squared plus 1 end root close parentheses close square brackets plus C

       

       

       

       

  7. mary 21 stycznia 2013 o 23:31 Link do komentarza

    int{2x}{x/2}{e^(-t^2)}dt proszę o pomoc

    • Krystian Karczyński 25 stycznia 2013 o 11:11 Link do komentarza

      Przykro mi, nie mogę odczytać tej całki… Ale jeżeli jedyna funkcja zmiennej t w wyrażeniu podcałkowym to {{e}^{-{{t}^{2}}}} i całka jest po dt to wygląda mi to na całkę nieelementarną (taką, którą nie można wyrazić wzorem)…

  8. Krzysztof 11 marca 2013 o 22:59 Link do komentarza

    proszę o pomoc w rozwiązaniu
    \underset{x\to\infty}{\mathop{\lim}}\,\frac{{x}^{1/m}-1}{{x}^{1/n}-1}

    • Krystian Karczyński 21 marca 2013 o 10:02 Link do komentarza

      A czy stałe m i n to liczby naturalne i mamy na ich temat jakieś założenia?

  9. Joanna 22 maja 2013 o 10:52 Link do komentarza

    Witam. Czy mógłby mi Pan pomoc z rozwinieciem podanych funkcji w szereg Maclaurina
    f(x)= ln(1+e^x)
    f(x)= e^{-x^2}
    f(x)=e^xsin
    f(x)=sin^2 x

    • Kamil Kocot 24 października 2016 o 01:58 Link do komentarza

      Aby rozwinąć funkcje bardziej złożone w szereg Maclaurina bardzo często korzystamy z gotowych rozwinięć prostszych funkcji. I tak w przypadku funkcji f left parenthesis x right parenthesis equals e to the power of negative x squared end exponent skorzystamy z szeregu

      e to the power of x equals 1 plus x plus fraction numerator x squared over denominator 2 factorial end fraction plus fraction numerator x cubed over denominator 3 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator x to the power of n over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator x to the power of n over denominator n factorial end fraction

      Podstawiając x rightwards arrow negative x squared dostaniemy

      e to the power of negative x squared end exponent equals 1 plus open parentheses negative x squared close parentheses plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses squared over denominator 2 factorial end fraction plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses cubed over denominator 3 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses to the power of n over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator open parentheses negative x squared close parentheses to the power of n over denominator n factorial end fraction
e to the power of negative x squared end exponent equals 1 minus x squared plus fraction numerator x to the power of 4 over denominator 2 factorial end fraction minus fraction numerator x to the power of 6 over denominator 3 factorial end fraction horizontal ellipsis plus left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n fraction numerator x to the power of 2 n end exponent over denominator n factorial end fraction plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n fraction numerator x to the power of 2 n end exponent over denominator n factorial end fraction

    • Kamil Kocot 24 października 2016 o 02:11 Link do komentarza

      Dla funkcji f left parenthesis x right parenthesis equals sin squared x spaceskorzystamy z rozwinięcia 

      cos x equals 1 minus x squared plus fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis equals sum from n equals 0 to infinity of fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent

      oraz przekształcenia:

      cos 2 x equals cos squared x minus sin squared x equals 1 minus 2 sin squared x
sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses

      Stąd

      sin squared x equals 1 half open parentheses 1 minus cos 2 x close parentheses
equals 1 half minus 1 half open parentheses 1 minus open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses
equals 1 half minus 1 half minus 1 half open parentheses negative open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses
equals negative 1 half open parentheses negative open parentheses 2 x close parentheses squared plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses
equals 1 half open parentheses open parentheses 2 x close parentheses squared minus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus fraction numerator open parentheses 2 x close parentheses to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction open parentheses 2 x close parentheses to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses
equals 1 half open parentheses 2 squared x squared minus 2 to the power of 4 fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus 2 to the power of 6 fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus 2 to the power of 2 n end exponent fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis close parentheses
equals 2 to the power of 1 x squared minus 2 cubed fraction numerator x to the power of 4 over denominator 4 factorial end fraction plus 2 to the power of 5 fraction numerator x to the power of 6 over denominator 6 factorial end fraction plus horizontal ellipsis plus 2 to the power of 2 n minus 1 end exponent fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent plus horizontal ellipsis
equals sum from n equals 1 to infinity of 2 to the power of 2 n minus 1 end exponent fraction numerator left parenthesis negative 1 right parenthesis to the power of n plus 1 end exponent over denominator left parenthesis 2 n right parenthesis factorial end fraction x to the power of 2 n end exponent

  10. Norbert 1 lutego 2014 o 10:55 Link do komentarza

    Mam problem z zadaniem. A mianowicie : Okno ma kształt prostokąta zakończonego trójkątem równobocznym. Obwód całego okna jest równy 4m. Jakie powinny być wymiary części prostokątnej aby okno przeprowadzało jak najwięcej światła ? ( Korzystamy z pochodnej )

    • Anna Zalewska 1 listopada 2016 o 00:43 Link do komentarza

      Oznaczmy boki trójkąta równobocznego przez x oraz boki prostokąta przez x i y.

      okno

      Obliczymy obwód takiego okna: 3 x plus 2 y equals 4

      Okno będzie przeprowadzało najwięcej światła, kiedy pole jego powierzchni będzie największe. Obliczamy pole stosując oznaczenia z rysunku:

      P equals x times y plus fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction 

      Z równania prezentującego obwód okna wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy do wzoru na pole.

      3 x plus 2 y equals 4
      2 y equals 4 minus 3 x space space space space space divided by colon 2
      y equals 2 minus begin inline style 3 over 2 end style x

      Error converting from MathML to accessible text.

      Otrzymaliśmy wzór wyrażający pole okna w zależności od zmiennej x:
      P left parenthesis x right parenthesis equals 2 x minus begin inline style 3 over 2 end style begin inline style x end style begin inline style blank squared end style begin inline style plus end style begin inline style fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction end style

      Aby obliczyć x, dla którego wartość pola będzie największa, wyznaczymy pochodną i ekstrema:
      P apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 2 minus 2 times begin inline style 3 over 2 end style begin inline style x end style begin inline style plus end style 2 times begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals 2 minus 3 x plus begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 2 end fraction end style
      2 minus 3 x plus begin inline style fraction numerator x square root of 3 over denominator 2 end fraction end style equals 0 space space space space space space space space divided by times 2
      4 minus 6 x plus begin inline style x square root of 3 end style equals 0
      negative 6 x plus begin inline style x square root of 3 end style equals negative 4
      x left parenthesis negative 6 plus begin inline style square root of 3 end style right parenthesis equals negative 4 space space space space space space space divided by colon left parenthesis negative 6 plus begin inline style square root of 3 end style right parenthesis
      x equals negative fraction numerator 4 over denominator negative 6 plus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction times fraction numerator 6 plus square root of 3 over denominator 6 plus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 36 minus 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction

      Dla x less than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction mamy P apostrophe left parenthesis x right parenthesis greater than 0, czyli P left parenthesis x right parenthesis space north east arrow.
      Dla x greater than fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction mamy P apostrophe left parenthesis x right parenthesis less than 0, czyli P left parenthesis x right parenthesis space south east arrow.

      Zatem x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction jest maksimum funkcji P left parenthesis x right parenthesis w swojej dziedzinie.

      Obliczymy y dla wyznaczonego x:
      y equals 2 minus begin inline style 3 over 2 end style x equals 2 minus begin inline style 3 over 2 end style times fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction equals 2 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals 22 over 11 minus fraction numerator 12 plus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction

      Zatem, aby okno przeprowadzało najwięcej światła, wymiary prostokąta powinny być następujące: 
      bok wspólny z trójkątem równobocznym: x equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction
      drugi bok: y equals fraction numerator 10 minus 2 square root of 3 over denominator 11 end fraction

       

      W powyższym rozwiązaniu użyłam pochodnej, ponieważ tak sugerowała treść zadania. Można jednak posłużyć się prostszą metodą:

      Otrzymaliśmy wzór na pole okna: P left parenthesis x right parenthesis equals 2 x minus begin inline style 3 over 2 end style begin inline style x end style begin inline style blank squared end style begin inline style plus end style begin inline style fraction numerator x squared square root of 3 over denominator 4 end fraction end style equals x squared open parentheses begin inline style fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction end style minus begin inline style 3 over 2 end style close parentheses plus 2 x dla y equals 2 minus begin inline style 3 over 2 end style x.
      Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku a equals fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction minus 3 over 2 equals fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction less than 0. Aby obliczyć wartość największą takiej funkcji, wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem, a dokładnie pierwszą współrzędną: p equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction

      p equals negative fraction numerator 2 over denominator 2 open parentheses fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction close parentheses end fraction equals negative fraction numerator 1 over denominator fraction numerator square root of 3 minus 6 over denominator 4 end fraction end fraction equals negative fraction numerator 4 over denominator square root of 3 minus 6 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction equals fraction numerator 4 over denominator 6 minus square root of 3 end fraction times fraction numerator 6 plus square root of 3 over denominator 6 plus square root of 3 end fraction equals
      equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 36 minus 3 end fraction equals fraction numerator 24 plus 4 square root of 3 over denominator 33 end fraction

      Dalsze obliczenia, jak wyżej.

  11. Grzegorz 5 lutego 2014 o 17:53 Link do komentarza

    Witam, jak zachowac się w takim przypadku,z jakiego wzoru korzystac $latexint\e^-{a1+a2}*t dt$

  12. Adrian 20 lutego 2014 o 13:32 Link do komentarza

    Witam czy mógłby ktoś sprawdzić czy wykonałem to zadanie prawidłowo ? Chodzi m.in o ekstremum lokalne funkcji wielu zmiennych.
    F(x,y)= x^3x^2 + y^2 – 2xy + 3
    D:x iy należą do R
    F’x(x,y)= 3x^2 – 2x – 2y
    F’y(x,y)= 2y-2x

    3x^2 – 2x – 2y=0
    2y-2x=0

    2y=2x/:2
    y=x

    3x^2 – 2x – 2x= 0
    3x^2 – 4x=0
    x(3x-4)=0
    x=0 lub 3x=4/:3
    x=0 lub x=4/3
    y=0 y=4/3

    P1(0,0) , P2(4/3,4/3)

    f’xx(x,y)= 6x-2
    f’yx(x,y)= -2
    F’xy(x,y)=-2
    F’yy(x,y)=2

    W(x,y)= \left| \begin{matrix}     6x-2 & -2 \\     -2 & -2 \\  \end{matrix} \right|
    W(0,0)= po wyliczeniu wyszło mi 0 – czyli nie można określić czy istnieje ekstremum
    W(4/3, 4/3) = po wyliczeniu wyszło mi 8 i ,że osiąga minimum .

    Z góry dziękuję za sprawdzenie 🙂

    • Krystian Karczyński 24 lutego 2014 o 09:58 Link do komentarza

      Wszystko dobrze, z wyjątkiem samego ostatniego kroku, czyli wyliczenia wartości w ekstremum. Powinno być:

      {{f}_{\min }}\left( \frac{4}{3},\frac{4}{3} \right)={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}-2\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}+3=\frac{64}{27}-\frac{16}{9}+\frac{16}{9}-\frac{32}{9}+3=

      =\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+3=\frac{64}{27}-\frac{96}{27}+\frac{81}{27}=\frac{49}{27}

  13. damian01237 21 marca 2014 o 11:16 Link do komentarza

    prosze o pomoc w zadaniu
    zbadać ekstremum funkcji
    f(x,y)=(x^2+y^2)e^-(x^2+y^2)

    • damian01237 17 kwietnia 2014 o 16:53 Link do komentarza

      chyba coś Panu się nie chce robić tego typu zadania

    • damian01237 12 maja 2014 o 21:52 Link do komentarza

      napisze mi Pan to rozwiazanie do tego zadania???

    • Ryhor Abramovich 24 października 2016 o 01:31 Link do komentarza

      f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent

      Rozwiązanie:

      Liczymy pochodne cząstkowe, korzystając ze wzoru open parentheses u times v close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v plus u times v apostrophe:

      fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals

      open parentheses 2 x plus 0 close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses close square brackets apostrophe equals

      2 x times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 1 close parentheses times open parentheses 2 x plus 0 close parentheses equals

      e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets 2 x plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times open parentheses negative 2 x close parentheses close square brackets equals e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times 2 x times open square brackets 1 minus open parentheses x squared plus y squared close parentheses close square brackets equals

      2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent

      i analogiczne:

      fraction numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction equals 2 y times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses equals

      2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent

      Dalej tworzymy układ równań:

      open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction equals 0 end cell row cell fraction numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction equals 0 end cell end table close

      czyli

      open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 0 end cell row cell 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 0 end cell end table close

      Podzieliwszy oba równania na 2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent not equal to 0, mamy:

      open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals 0 end cell row cell y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals 0 end cell end table close

      Iloczyn dwoch liczb jest równy zera wtedy, kiedy przynajmniej jedna z tych liczb równa się zera. Z pierwszego równania mamy, że open parentheses I close parentheses space x equals 0 lub open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0.

      Rozpatrzymy obie możliwości.

      Gdy open parentheses I close parentheses space x equals 0 , wtedy z drugiego równania mamy:

      y times open parentheses 1 minus y squared close parentheses equals 0

      Czyli znowu mamy dwie możliwości: open parentheses I a close parentheses space y equals 0 comma space open parentheses I b close parentheses space 1 minus y squared equals 0

      Ostatecznie otrzymamy punkty P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses  – tzw. punkty stacjonarne, czyli podejrzane na ekstremum.

      Gdy open parentheses I I close parentheses space 1 minus x squared minus y squared equals 0 , wtedy oba równania układu są równe zera. Tzn, w tym przypadku mamy nieskończoną iłość punktów stacjonarnych, spełniających warunek 1 minus x squared minus y squared equals 0 , czyli x squared plus y squared equals 1

      Jednak, w takim razie funkcja

      f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent equals 1 times e to the power of negative 1 end exponent equals 1 over e

      jest funkcją stałą, żadnych ekstremum nie mająca.

      Dalej liczymy pochodne drugiego rzędu wedlug wzoru:

      open parentheses u times v times w close parentheses apostrophe equals u apostrophe times v times w plus u times v apostrophe times w plus u times v times w apostrophe

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x squared end fraction equals fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction open parentheses fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction close parentheses equals fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction open square brackets 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals

      open parentheses 2 x close parentheses apostrophe times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus

      2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe equals 2 times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus

      2 x times open parentheses negative 2 x close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 x close parentheses equals

      2 times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open square brackets 1 minus x squared minus y squared minus 2 x squared minus 2 x squared times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses close square brackets equals

      2 times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus 3 x squared minus y squared minus 2 x squared plus 2 x to the power of 4 plus 2 x squared y squared close parentheses equals

      2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 x squared minus y squared plus 2 x to the power of 4 plus 2 x squared y squared close parentheses

      i analogiczne:

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction open parentheses fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction close parentheses equals fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction open square brackets 2 x times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals

      2 x times open square brackets open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses apostrophe times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times open parentheses e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close parentheses apostrophe close square brackets equals

      2 x times open square brackets open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses close square brackets equals

      2 x times open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 plus 1 minus x squared minus y squared close parentheses equals negative 4 x y times open parentheses 2 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction open parentheses fraction numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction close parentheses equals fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction open square brackets 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent close square brackets equals

      2 times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 y times open parentheses negative 2 y close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent plus 2 y times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses negative 2 y close parentheses equals

      2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus y squared minus 2 y squared minus 2 y squared times open parentheses 1 minus x squared minus y squared close parentheses close parentheses equals

      2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus 3 y squared minus 2 y squared plus 2 x squared y squared plus 2 y to the power of 4 close parentheses equals

      2 e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent times open parentheses 1 minus x squared minus 5 y squared plus 2 x squared y squared plus 2 y to the power of 4 close parentheses

      • Ryhor Abramovich 14 listopada 2016 o 01:42 Link do komentarza

        Następny krok – to obliczanie tych pochodnych w punktach stacjonarnych. Niech

        A equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x squared end fraction space comma space B equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction space comma space C equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction

        Wtedy:

        A subscript 1 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 0 squared close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2

        B subscript 1 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 0 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

        C subscript 1 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 1 close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 0 squared plus 2 times 0 squared times 0 squared plus 2 times 0 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of 0 times 1 equals 2

        A subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 1 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 1 squared close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times 0 equals 0

        B subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 1 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 1 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent equals 0

        C subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 1 squared plus 2 times 0 squared times 1 squared plus 2 times 1 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 4 over e

        Ponieważ P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses , a funkcja

        f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent jest parzysta, to

        A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0

        B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0

        C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e

        Dalej liczymy hesjan:

        H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared

        H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4

        H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0

        H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0

        Ponieważ

        H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0,

        to w punkcie P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja osiąga minimum lokalne, i

        f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

        Ponieważ

        H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0

        to w punktach P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses oraz P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses situacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań). 

         

        Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek 

        x squared plus y squared equals 1

        dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.

        Odpowiedź:

        f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0

  14. Paweł 15 kwietnia 2014 o 17:11 Link do komentarza

    Proszę o pomoc w policzeniu całki: całka w granicach od 0 do a (1-(x/a)^1/2)arcsin(((1-x/a)/(1+x/a))^1/2)dx

    albo całka (3a^2-x^2)arcsin(((3a^2-x^2)/(3a^2-x^2))^1/2)dx

    powtarza się ona dość często przy objętościach brył

  15. Domcia 11 maja 2014 o 14:10 Link do komentarza

    Mam do policzenia fantastyczną całkę z którą nie jestem w stanie sobie poradzić , odpowiedzi na tyłach mojej ukochanej ksiązki do matematyki jest inna niż oblicza to kalkulator całek próbowałam juz na milon sposobów $latex\int\left({{sin}^{3}{{2}*{x}}}\right)dx}$ w koncu zrobiłam podwójne podstawienie : pierwsze za 2x a drugie za cos t wychodzi mi wynik ale nie wiem jak go uporządkować , żeby wyszedł wynik tak jak w kalkulatorze albo w książce , więć suma sumarum nadal nie wiem czy robie to dobrze. Pomocy 🙁

    • Domcia 11 maja 2014 o 14:12 Link do komentarza

      yy coś nie wyszło z tą formułą ;x napisze słownie : całka nieoznaczona z sin^3(2x) , taka niewinna………. a doprowadza mnie do palpitacji serca.

Dodaj komentarz