Zaklęcie Na Równanie Okręgu w 5 Prostych Krokach

Skrzat w trawieJak wiesz , tylko pewna część zdobywanych z trudem wiadomości ze szkoły średniej właściwie przyda Ci się na studiach. W tym wakacyjnym, powtórkowym okresie dobrze jest więc może skoncentrować się właśnie na nich.

Równanie okręgu

Równanie okręgu – jeśli mamy szczęście – wygląda na tak:

{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}

I od razu odczytujemy z niego, że jest to okrąg o środku w punkcie \left( a,b \right) i promieniu r.

Przykłady

  • {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4, okrąg o środku w punkcie \left( 2,3 \right) i promieniu 2
  • {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=9, okrąg o środku w punkcie \left( -2,3 \right) i promieniu 3
  • {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1, okrąg o środku w punkcie \left( 0,-1 \right) i promieniu 1
  • {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=7, okrąg o środku w punkcie \left( 0,0 \right) i promieniu \sqrt{7}

I fajnie. Gorzej, gdy w nocy przyjdą złośliwe matematyczne skrzaty, wezmą takie zgrabne równanko {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4 i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia podniosą do kwadratu, dodadzą stałe i jeszcze na domiar złego przerzucą wszystko na jedną stronę.

Dostaniemy wtedy takie brzydkie coś: {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y+9=0, a bardziej ogólnie…

Równanie okręgu w postaci zamieszanej

Żeby odczarować równanie okręgu w postaci zamieszanej i aby na nowo przypominało piękną księżniczkę, musisz powtórzyć następujące zaklęcie krok-po-kroku:

1. Najpierw składniki z x, później z y, na końcu stała

Czyli Twoje „zamieszane” przez skrzaty równanie:

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y+9=0

Zapisujesz jako:

{{x}^{2}}-4x+{{y}^{2}}-6y+9=0

2. Współczynniki przy x i y nie podniesionych do potęg zapisujesz jako DWA razy odpowiednia liczba (żeby się zgadzało)

Czyli piszesz:

{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{y}^{2}}-2\cdot 3y+9=0

Uwaga

Jeśli współczynniki są „nieokrągłe” to też się da, a jak ich w ogóle nie ma, to nie zapisujesz, na przykład jak masz:

{{x}^{2}}-x+{{y}^{2}}+12=0

To zapisując zaklęcie przekształcił byś to tak:

{{x}^{2}}-2\cdot \frac{1}{2}x+{{y}^{2}}+12=0

3. Dodajesz i odejmujesz współczynniki które TERAZ stoją przy x i y (ale bez liczby 2) podniesione do kwadratu

Czyli mając:

{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{y}^{2}}-2\cdot 3y+9=0

Zapisujesz:

{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}-{{2}^{2}}+{{y}^{2}}-2\cdot 3y+{{3}^{2}}-{{3}^{2}}+9=0

4. Korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia {{\left( a+b \right)}^{2}} lub {{\left( a-b \right)}^{2}}, pozostałe stałe dodajesz/odejmujesz

Zwróć uwagę, że w zaznaczonych miejscach możesz skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

\underbrace{{{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}}_{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}-{{2}^{2}}+\underbrace{{{y}^{2}}-2\cdot 3y+{{3}^{2}}}_{{{\left( y-3 \right)}^{2}}}-{{3}^{2}}+9=0

i wyjść na:

{{\left( x-2 \right)}^{2}}-4+{{\left( y-3 \right)}^{2}}-9+9=0

a po porachowaniu stałych:

{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}-4=0

5. Przerzucasz stałą na prawo i masz równanie okręgu

Czyli u nas:

{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4

Uwaga

Jeśli w tym momencie zadania po prawej masz liczbę ujemną to wyjścia są dwa:

  • Pomyliłeś się gdzieś po drodze
  • Na wejściu nie było wcale równania okręgu i skrzaty zakpiły sobie z Ciebie

Jeśli natomiast po prawej wyjdzie liczba „nieprzyjemna”, ale dodatnia, typu 5\tfrac{2}{3} to wyjścia też są dwa:

  • Pomyliłeś się gdzieś po drodze
  • Promień okręgu też jest nieprzyjemny, czyli typu \sqrt{5\tfrac{2}{3}}

Tyle zaklęcie, mam nadzieję, że przyda się Tobie (na przykład w wyznaczaniu dziedziny funkcji dwóch zmiennych ). Daj mi znać w komentarzach, jeśli napotkasz na swojej drodze kiedykolwiek skrzaty tak wredne, że nawet to zaklęcie nie pomaga.