Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 4 Pierwiastek z x do kwadratu

Pierwiastek z x do kwadratuDzisiaj będzie króciutko. Moje szybkie pytanie do Ciebie to:

 

Ile to jest pierwiastek z x do kwadratu?

Czyli:

sqrt{x^2}=?

Kiedy udzielałem jeszcze korepetycji zadałem to pytanie naprawdę wielu studentom i uczniom szkół średnich. Czy wiesz, ilu znało prawidłową odpowiedź?

Dwóch.

Statystyka odpowiedzi rozkładała się z grubsza następująco:

75% odpowiadało, że x (odpowiedź nieprawidłowa)

20% wyczuwało już pułapkę i w ogóle bało się coś powiedzieć

5% wymyślało jakieś ciekawe i zaskakujące rzeczy

Przypadki dwóch uczniów znających prawidłową odpowiedź pomijam (przypadają oni na 7-8 lat intensywnych korepetycji).

 

Odpowiedź

Naprawdę nie wiem, czemu nikt tego nie wie, ale pierwiastek z x do kwadratu to jest wartość bezwzględna z x:

sqrt{x^2}=delim{|}{x}{|}

Gdyby miał to być x, to znaczy gdyby miało by zachodzić:

sqrt{x^2}=x

To znaczy, że jeśli za x wzięlibyśmy sobie -1, powinniśmy dostać:

sqrt{(-1)^2}=-1

…a jakoś nie dostajemy, tylko dostajemy:

sqrt{(-1)^2}=delim{|}{-1}{|}=1

 

Z tą pułapką zetkniesz się nie raz na studiach i trzeba być czujnym. Moich uczniów nie pytałem zresztą dlatego, żeby robić sobie prywatne ankiety (w czasie, za który przecież oni płacili), tylko dlatego, że kwestia co chwila wypływała przy okazji różnych tematów.

 

No dobra, ale po co to? – przykład

Na przykład w granicach funkcji (ciągów zresztą też), trzeba często robić taki myk:

sqrt{x^2+1}=sqrt{x^2(1+1/x^2)}=sqrt{x^2}sqrt{1+1/x^2}

…no i standardowy babol tutaj to automatyczne:

sqrt{x^2+1}=sqrt{x^2(1+1/x^2)}=sqrt{x^2}sqrt{1+1/x^2}=x{sqrt{1+1/x^2}}

…co może, ale nie musi być prawdą, bo POWINNO być:

sqrt{x^2+1}=sqrt{x^2(1+1/x^2)}=sqrt{x^2}sqrt{1+1/x^2}=delim{|}{x}{|}sqrt{1+1/x^2}

…teraz POWINNIŚMY sprawdzić, czy x jest dodatnie, czy ujemne (jeżeli jesteśmy w granicach i wiemy na przykład, że x{right}infty, to wiemy, że jest dodatni i to dodatni jak cholera).

Teraz korzystając z definicji wartości bezwzględnej:

Definicja wartości bezwzględnej

 

 

…wiemy, że jeśli x jest dodatni (no dobra: nieujemny) , to:

sqrt{x^2+1}=sqrt{x^2(1+1/x^2)}=sqrt{x^2}sqrt{1+1/x^2}=x{sqrt{1+1/x^2}}

…ale jeśli x jest ujemny, to ku naszemu zaskoczeniu mamy:

sqrt{x^2+1}=sqrt{x^2(1+1/x^2)}=sqrt{x^2}sqrt{1+1/x^2}=-x{sqrt{1+1/x^2}}

Pomyłka oczywiście najczęściej wpływa na wynik  i na końcową punktację na kolokwium.

Uwaga zatem na sqrt{x^2}!