Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 5 Obustronne mnożenie lub dzielenie nierówności

W tym poście będę kontynuował tematykę zagadnień ze szkoły średniej, na które – być może – nie miałeś położonego zbyt wielkiego nacisku, a które bardzo ułatwią Ci życie na studia.

To już część 5 – jeśli wskoczyłeś tutaj dopiero teraz możesz zerknąć na 4 poprzednie posty 🙂

Tutaj zajmę się obustronnym mnożeniem i dzieleniem nierówności.

Dzielenie nierówności? A to już chyba wiem, o co chodzi…

No tak. Wszyscy już wiemy (chociaż czasami zapominamy) o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu/dzieleniu jej przez liczbę ujemną.

Na przykład:

-2x data-recalc-dims=4″ title=”-2x>4″/> /:(-2)

x<-2 (zmienił się znak nierówności, bo podzieliłem obie strony przez liczbę ujemną)

albo:

-x<=-1 /*(-1)

x data-recalc-dims==1″ title=”x>=1″/> (znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)

 

Co jednak z mnożeniem i dzieleniem nie przez LICZBĘ, tylko przez ZMIENNĄ, na przykład:

{x-1}/x<3 /*x

Możemy zrobić takie mnożenie i wyjść na:

x-1<3x

…?

Prawidłowa odpowiedź to: NIE, NIE MOŻEMY.

Pamiętamy zasadę: „Jeśli mnożymy przez dodatnią nie zmieniamy znaku, jeśli mnożymy przez ujemną zmieniamy”. Mnożąc przez zmienną x NIE WIEMY, czy mnożymy przez liczbę dodatnią, czy ujemną. Zmienna x może być równa -100, a może być równa także 15. To, że nie ma przed nią znaku minus niczego nie zmienia (może być i tak ujemna).

Jeśli tego nie wiemy, nie możemy przechodzić na…

x-1<3x

…bo na taką nierówność moglibyśmy wyjść tylko wtedy, kiedy mnożylibyśmy przez liczbę dodatnią (nie zmieniając znaku), a tego NIE WIEMY.

Analogiczna zasada obowiązuje w dzieleniu, nie możemy więc wykonać sobie czegoś takiego:

x(x-1) data-recalc-dims=0″ title=”x(x-1)>0″/> /:x

x-1 data-recalc-dims=0″ title=”x-1>0″/>

…bo, jeszcze raz powtórzmy: nie wiemy, czy x jest liczbą dodatnią, czy ujemną.

Podsumowując więc

Nie dzielimy obustronnie nierówności przez zmienne.

I jeszcze….

 

Ciekawostka

Jeżeli – skądinąd – mielibyśmy informację, że zmienna (albo całe wyrażenie) przez które obustronnie chcemy pomnożyć/podzielić JEST zawsze dodatnie (albo ujemne) możemy sobie śmiało mnożyć/dzielić.

Na przykład jeśli dziedziną (o dziedzinie będzie jeszcze post powtórkowy później) x jest zbiór liczb (0,+{infty}), to wiemy, że x jest na pewno dodatni.

Wtedy MOŻEMY machnąć sobie…

x(x-1) data-recalc-dims=0″ title=”x(x-1)>0″/> /:x

x-1 data-recalc-dims=0″ title=”x-1>0″/>

…pamiętając jednak o tym, żeby w otrzymanym zbiorze rozwiązań uwzględnić dziedzinę (wziąść z niego tylko x{in}(0,+{infty})).

 

 

 

 

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej