Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Wyrażenia nieoznaczone w granicach ciągu

 

Granica ciągu Wykład 3

 

Temat: Wyrażenia nieoznaczone

 

Streszczenie

W artykule przybliżę, czym są wyrażenia nieoznaczone pojawiające się w zadaniach na granicę ciągu.

Łatwe do wyznaczenia granice ciągu

Jak obliczać granice ciągu? Jeśli zetknąłeś się z tym tematem na studiach, albo gdzie indziej, z pewnością kojarzy Ci się on z metodami, wyciąganiem przed nawias, mnożeniem przez sprzężenie itd. I słusznie. Ale wiele ciągów ma tak prostą do obliczenia granicę, że korzystanie z jakiś złożonych metod w najlepszym razie jest stratą czasu i wysiłku.

Przykład 1

Przeanalizujmy ciąg:

a_n=1/{n+1}

Kolejne wyrazy ciągu wyglądały by tak:

1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,...,1/100,...,1/1000,... itd.

Widzimy, że jego wyrazy są coraz mniejsze, mniejsze i dążą do zera. Po zastanowieniu można dojść do wniosku, że podobny wynik granicy otrzymamy w każdej sytuacji, w której licznik zmierzać będzie do stałej liczby, a mianownik rozbiegać w nieskończoność. Granica równa będzie wtedy zawsze zero – bo przy coraz większym i większym mianowniku całe wyrażenie będzie coraz mniejsze i mniejsze – dążące do zera. Zatem:

delim{[}{A/{infty}}{]}=0

…niezależnie od tego, jaki konkretnie ciąg jest na dole w mianowniku, jeśli tylko rozbiega do nieskończoności.

Kiedy będzie to wyglądało inaczej?

Wyrażenia nieoznaczone typu {infty}/{infty}

Przykład 2

Weźmy dwa ciągi: a_n=n^2-1 i b_n=n^2+1. Oba rozbiegają w nieskończoność. Jeśli podzielimy ich odpowiadające sobie wyrazy otrzymamy nowy ciąg:

{n^2-1}/{n^2+1}

Symbolicznie taką sytuację oznaczamy delim{[}{{infty}/{infty}}{]} – jest to oznaczenie na ciąg złożony z dzielenia dwóch innych rozbiegających w nieskończoność. Jaka będzie jego granica?

Rozpisując {n^2-1}/{n^2+1} otrzymamy:

0,3/5,8/10,15/17,24/26,35/37,48/50,63/65,80/82,99/101,...

Te liczby zbliżają się coraz bardziej do jeden. Dla tego konkretnego ciągu więc delim{[}{{infty}/{infty}}{]}{right}1

Przykład 3
Weźmy sobie dwa inne ciągi: a_n=4n+1 i b_n=n^2. Oba rozbiegają w nieskończoność. Dzieląc ich wyrazy otrzymamy następujący ciąg:

{4n+1}/{n^2}

Jest to ciąg, w którym znowu w liczniku i mianowniku mamy ciągi rozbiegające w nieskończoność, a zatem znowu sytuację delim{[}{{infty}/{infty}}{]}. Jaka jednak tym razem będzie jego granica?

Rozpisując kolejne wyrazy ciągu {4n+1}/{n^2} otrzymamy:

5,2{1/4},1{4/9},1{1/16},21/25,25/36,29/49,33/64,37/81,41/100,...

Czyli zauważyć można, że mianownik rozbiega jakby „szybciej” do nieskończoności od licznika, a całe wyrażenie dąży do 0.

W obu przykładach (2 i 3) mieliśmy tą samą sytuację: delim{[}{{infty}/{infty}}{]} i dwa różne wyniki: 1 i 0. Nietrudno wyobrazić sobie różne inne możliwości, na przykład licznik rozbiegający „szybciej” od mianownika – wtedy ciąg rozbiegał będzie w nieskończoność.

W sytuacji delim{[}{{infty}/{infty}}{]} nie jesteśmy więc w stanie określić na samym starcie, jaka jest granica ciągu i trzeba w niej stosować różne przekształcenia wyrażenia, z którego liczymy granicę.

Wyrażenia nieoznaczone ogólnie

Tego typu wyrażenia nazywamy „symbolami nieoznaczonymi” (jest ich w sumie siedem). Policzenia granicy ciągu z symboli nieoznaczonych wymaga użycia różnych metod, natomiast jeśli w ciągu wyrażenia nieoznaczone nie występują – jest to na ogół ciąg, którego granicę wyznaczyć bardzo prosto.

Wypiszmy więc wszystkie symbole nieoznaczone:

delim{[}{{infty}/{infty}}{]},delim{[}{0/0}{]},delim{[}{0*{infty}}{]},delim{[}{{infty}-{infty}}{]},delim{[}{1^{infty}}{]},delim{[}{0^0}{]},delim{[}{{infty}^0}{]}

Ważną rzeczą jest zrozumienie tego, że wyrażenie nieoznaczone jest pewnym symbolem, które niesie treści różne od tych, do których się może przyzwyczailiśmy. Na przykład symbol 0 w wyrażeniach nieoznaczonych NIE oznacza liczby zero (jak wielu ludziom się błędnie wydaje…) tylko ciąg o granicy równej zero – a to zupełnie coś innego, prawda? W symbolu delim{[}{0/0}{]} nie mamy więc „dzielenia przez zero”, tylko iloraz dwóch ciągów dążących do zera.

Kliknij, aby poznać definicję granicy niewłaściwej ciągu (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak liczyć granice ciągu z definicji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o ciągach

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej

23 komentarze na “Wyrażenia nieoznaczone w granicach ciągu”

  1. Rafał 5 sierpnia 2013 o 16:32 Link do komentarza

    we wzorach w kursie granice jest taki wzór na „a do potęgi nieskończoność”. I tam jest że gdy a = 1, to „a do potęgi nieskończoność”=1 ale to jest symbol nieoznaczony, więc o co z tym chodzi.

    • Krystian Karczyński 6 sierpnia 2013 o 08:38 Link do komentarza

      Dzięki, to dobre pytanie.

      Chodzi o to, że znak „1” użyty w symbolu nieoznaczonym: \left[ {{1}^{\infty }} \right] i znak „1” użyty we wzorze na {{a}^{\infty }}: $latex {{a}^{\infty }}=\left\{ \begin{matrix}
      \infty \quad dla\ a>1 \\
      1\quad dla\ a=1 \\
      0\quad dla\ \left| a \right|<1 \\
      \end{matrix} \right.$

      ...oznaczają coś innego.

      W symbolu nieoznaczonym $latex \left[ {{1}^{\infty }} \right]$ "jedynka" oznacza ("symbolizuje") liczbę nieskończenie blisko liczby 1 (bardziej fachowo powiedziało by się: wyrażenie, którego granicą jest 1).

      We wzorze na $latex {{a}^{\infty }}$ "jedynka" oznacza po prostu liczbę równo 1.

      Stąd różnice w "wynikach".

      Jeśli liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki pomnożymy przez liczbę nieskończenie blisko jedynki itd. w nieskończoność nie można od razu powiedzieć, jaki będzie wynik takiej operacji (symbol nieoznaczony).

      Jeśli jednak równo jeden pomnożymy przez 1 potem pomnożymy przez 1 itd. w nieskończoność wiadomo, że wynikiem będzie 1.

      Na tej samej zasadzie symbol "0" w każdym symbolu nieoznaczonym nie oznacza liczby równo 0, a symbol $latex \infty $ nie oznacza jakiejś konkretnej, bardzo wielkiej liczby.

      Więcej na ten temat może Pan przeczytać w tym poście, zapraszam:
      http://www.etrapez.pl/blog/granice/granica-ciagu/klopoty-z-symbolami-nieoznaczonymi/

  2. Tomasz 18 lutego 2014 o 23:00 Link do komentarza

    Nie wiem, czy pan jeszcze odpowiada na komentarze, ale mam pewne pytanie.
    Jak wiadomo [ \infty – \infty ] to symbol nieoznaczony, który mówi, że od czegoś bardzo dużego odejmujemy coś bardzo dużego.
    Co jednak kiedy mamy sytuację [- \infty + \infty ], gdzie do czegoś bardzo małego dodajemy coś bardzo dużego. Czy to jest to samo co poprzednie, czy nie?

  3. Problem 18 marca 2014 o 01:17 Link do komentarza

    Witam !
    Proszę o wyjaśnienie(najlepiej rozpisanie obliczeń) do takiej granicy(z wyjaśnieniem gdy n zmierza do nieskończoności oraz do -nieskończoności):
    (-5+4^(-1+n))/(-7+4^n)

    Wyniki z wolframalpha
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-5%2B4%5E%28-1%2Bn%29%29%2F%28-7%2B4%5En%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

    • Krystian Karczyński 19 marca 2014 o 10:36 Link do komentarza

      Przy n dążącym do -nieskończoności? A to jest granica ciągu?

      Przy n do +nieskończoności to pójdzie tak (metodami z mojego Kursu):

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1}}{{4}^{n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-5}{{{4}^{n}}}+{{4}^{-1}} \right)}{{{4}^{n}}\left( \tfrac{-7}{{{4}^{n}}}+1 \right)}={{4}^{-1}}=\frac{1}{4}

      Zakładając, że to NIE jest granica ciągu, tylko np. funkcji, w której zmienna oznaczona jest jako „n”:

      \underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=

      \left[ \frac{-5+{{4}^{-1-\infty }}}{-7+{{4}^{-\infty }}} \right]=\left[ \frac{-5+{{4}^{-\left( 1+\infty  \right)}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{{{4}^{1+\infty }}}}{-7+\tfrac{1}{{{4}^{\infty }}}} \right]=\left[ \frac{-5+\tfrac{1}{\infty }}{-7+\tfrac{1}{\infty }} \right]=\left[ \frac{-5+0}{-7+0} \right]=\left[ \frac{5}{7} \right]

      \underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5+{{4}^{-1+n}}}{-7+{{4}^{n}}}=\frac{5}{7}

  4. Aneta 26 marca 2014 o 23:40 Link do komentarza

    Witam.
    Mam problem z tym zadaniem:
    Pokaż, że 2arctg(x) + arcsin(2x/1+x^2)=π*sgn(x), dla abs(x)>=1.

    Proszę o pomoc.

  5. m994 1 maja 2014 o 20:17 Link do komentarza

    Jeśli mamy nieskończoność + nieskończoność to jest to symbol oznaczony prawda ?

    • Krystian Karczyński 2 maja 2014 o 08:24 Link do komentarza

      Tak, ale takiego zwrotu jak: „symbol oznaczony” nie ma.

      Prawidłowo powinno się powiedzieć: „to nie jest symbol nieoznaczony”.

  6. witam!
    Czy mógłbym Pan rozpisać rozwiazanie zadania 10 z działu Granic, lekcji 4(twierdzenie o trzech ciągach) ?

    • Krystian Karczyński 8 maja 2014 o 14:02 Link do komentarza

      Bardzo proszę.

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right) \right]

      Ograniczam od dołu i od góry:

      n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+2}+\frac{1}{{{n}^{2}}+3}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)\le n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)

      Obliczam granice z ograniczeń z dołu i z góry:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\frac{1}{{{n}^{2}}+n}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}=1

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\frac{1}{{{n}^{2}}+1}+\ldots +\frac{1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n\cdot 1}{{{n}^{2}}+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1+\tfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=1

      Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach granica tego ciągów równa jest 1.

  7. Dariusz Knitter 9 czerwca 2014 o 22:59 Link do komentarza

    Proszę o Pana uzasadnienie wprowadzenia do tego zestawu symboli nieoznaczonych 0 do potęgi nieskończoność?

    • Krystian Karczyński 10 czerwca 2014 o 08:30 Link do komentarza

      To nie jest symbol nieoznaczony, znalazł się tam przez pomyłkę. Przepraszam, poprawiam.

  8. Marcus Vassenlexs 4 września 2014 o 20:18 Link do komentarza

    Przepraszam czy mógłby mi pan pomóc w pewnym zagadnieniu?Otóż zastanawiam się ile wynosi wynik (-x)^∞ gdzie x należy do liczb dodatnich.

  9. Kuba 9 lutego 2015 o 18:44 Link do komentarza

    Witam ,czy symbol oo^0 zawsze będzie dawał 1

  10. Katarzyna 8 kwietnia 2015 o 20:10 Link do komentarza

    nie wiem jak obliczyć granicę z n!/n czy jest to jakiś wyjątek?

  11. Jakub 15 grudnia 2016 o 23:02 Link do komentarza

    ja mam takie dość durne zadanie na kolosa i za bardzo nie mam pomysłu jak sie za to zabrac fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator left parenthesis negative 4 right parenthesis to the power of n end fractionjakieś propozycje

    • Jakub 15 grudnia 2016 o 23:03 Link do komentarza

      Najgorsze są właśnie te różne potęgi i nie wiem jak sie ich wyzbyć

    • Kamil Kocot 20 stycznia 2017 o 12:02 Link do komentarza

      Witam

      Granicę z potęgami najczęściej rozwiązujemy zapisując wszystkie liczby do potęgi n tzn. jeśli przykładowo w granicy pojawia się 2 to the power of 3 n plus 1 end exponent to rozpisujemy to jako 2 to the power of 3 n plus 1 end exponent equals open parentheses 2 cubed close parentheses to the power of n times 2 to the power of 1 equals 8 to the power of n times 2. Następnie dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę z mianownika, mam tu na myśli potęgi liczb np. 2 to the power of n comma space 3 to the power of n itd. Trzeba mieć świadomość, że wyrażenia tego typu dążą „szybciej” do nieskończoności niż wyrażenia typu n squared comma space n cubed itd. Tym samym granicę podaną przez Pana można rozwiązać następująco:

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 to the power of n minus 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 over denominator open parentheses negative 4 close parentheses to the power of n end fraction end cell equals cell limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 to the power of n times 3 to the power of negative 11 end exponent plus 4 n to the power of 9 space space divided by 4 to the power of n over denominator open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 4 to the power of n space space space divided by 4 to the power of n end fraction end cell row blank equals cell limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 3 to the power of n times 3 to the power of negative 11 end exponent over denominator 4 to the power of n end fraction end style plus begin display style fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction end style space space over denominator begin display style fraction numerator open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 4 to the power of n over denominator 4 to the power of n end fraction end style space end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table

      Dalej ponieważ limit as n rightwards arrow infinity of open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n equals 0 oraz limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction equals 0 (jak wcześniej wspomniałem mianownik dąży tu do zera „szybciej” niż licznik!) dostajemy 

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as n rightwards arrow infinity of end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator begin display style open parentheses 3 over 4 close parentheses to the power of n 3 to the power of negative 11 end exponent plus fraction numerator 4 n to the power of 9 over denominator 4 to the power of n end fraction space space end style over denominator begin display style open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n space end style end fraction end cell end table equals fraction numerator 0 over denominator plus-or-minus 1 end fraction equals 0

  12. Nikodem 7 stycznia 2017 o 16:05 Link do komentarza

    Witam mam problem z pewną granicą, a mianowicie chodzi o policzenie as. poziomych dla (x^2/e^x). W obu wychodzi symbol nieoznaczony i co należy dalej zrobić?

  13. maja 10 stycznia 2017 o 20:58 Link do komentarza

    również mam problem ponieważ mam granice lim x->oo (2x^2 +1)^453 /2^450 *(x^3+3n)^302 . nie mam pomyslu na ta granice

    • Kamil Kocot 20 stycznia 2017 o 12:19 Link do komentarza

      Mam nadzieję, że dobrze zrozumiałem i mamy tu na myśli granicę limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction. W takich przykładach trzeba umiejętnie „wyłowić” to co istotne. Tutaj x zbiega do nieskończoności zatem to będzie najważniejszy punkt, trzeba standardowo wyłączyć przed nawias x w najwyższej potędze co krok po kroku postaram się zrobić:

      table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed plus 3 x close parentheses to the power of 302 end fraction end cell equals cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open square brackets x squared open parentheses 2 plus begin display style 1 over x squared end style close parentheses close square brackets to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open square brackets x cubed open parentheses 1 plus begin display style 3 over x squared end style close parentheses close square brackets to the power of 302 end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses x squared close parentheses to the power of 453 open parentheses 2 plus 1 over x squared close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times open parentheses x cubed close parentheses to the power of 302 open parentheses 1 plus 3 over x squared close parentheses to the power of 302 end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator bold italic x to the power of bold 906 open parentheses 2 plus 1 over x squared close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times bold italic x to the power of bold 906 open parentheses 1 plus 3 over x squared close parentheses to the power of 302 end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 2 plus bold 1 over bold x to the power of bold 2 close parentheses to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 open parentheses 1 plus bold 3 over bold x to the power of bold 2 close parentheses to the power of 302 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 to the power of 453 over denominator 2 to the power of 450 times 1 end fraction equals 2 cubed equals 8 end cell end table

      Po drodze skorzystałem z własności potęg open parentheses a b close parentheses to the power of 453 equals a to the power of 453 b to the power of 453, skróciłem x to the power of 906 a pod koniec 1 over x squared comma space 3 over x squared rightwards arrow 0 space gdy x rightwards arrow infinity.

       

       

  14. Jakub Burakowski 3 lutego 2017 o 01:45 Link do komentarza

    Witam, mam zadanie obliczyć granice bez użycia pochodnych. Czy to możliwe. Na Pana kursach w ogóle nie są poruszane takie zagadnienia, albo nie mogę ich znaleźć.limit as x rightwards arrow infinity of left parenthesis fraction numerator x minus 3 over denominator x plus 2 end fraction right parenthesis to the power of 3 x end exponent limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 sin left parenthesis x squared minus 4 right parenthesis over denominator sin left parenthesis x minus 2 right parenthesis end fractionCzy może Pan pomóc mi w tym??

Dodaj komentarz