Granice funkcji liczone twierdzeniem o trzech funkcjach

Analogia z twierdzeniem o trzech ciągach

Odpowiednikiem twierdzenia z granic ciągów, zwanego „twierdzeniem o trzech ciągach” w granicach funkcji jest „twierdzenie o trzech funkcjach”. Leci ono zupełnie analogicznie: jeżeli mamy jakąś funkcję, ograniczoną z góry i z dołu przez jakieś inne funkcje (ograniczoną, tzn. że ich wartości są odpowiednio większe lub mniejsze od wartości tej funkcji) i te funkcje z góry i z dołu zbiegają do tej samej granicy w punkcie lub nieskończoności – to funkcja ta również zbiega do tej granicy w tym punkcie lub nieskończ0ności.

Zamotane? Dlatego właśnie wynaleziono zapis matematyczny, tam wygląda to prościej, spójrz:

Założenia:

Założenia ogólne twierdzenia o trzech funkcjachW prostokąciku może być liczba, do której dążą x, albo nieskończoność z dowolnym znakiem.

Teza:

Teza ogólna twierdzenia o trzech funkcjachPamiętamy z ciągów? Pamiętamy na pewno…:)

Jak liczy się więc granicę funkcji korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach?

Najpierw znajdujesz odpowiednie oszacowanie z góry i z dołu, później liczysz granice z tych oszacowań, pokazując, że są sobie równe i skończone, trzeba już tylko napisać ładną odpowiedź.

Przykład

{lim}under{x{right}0}x^2(4+cos{1/x})

Granice z sinusami i cosinusami szacujemy standardowo jedynką, korzystając z faktu, że cosinus/sinus czegokolwiek jest zawsze mniejszy lub równy od 1 i większy lub równy od -1. Prawdziwa jest więc nierówność:

Oszacowanie funkcjiczyli:

Uporządkowane oszacowanie funkcjiTeraz liczmy granice oszacowań z góry i z dołu (a właściwie nie liczymy, bo są bardzo proste…):

{lim}under{x{right}0}3x^2=0

{lim}under{x{right}0}5x^2=0

Wyszły takie same (i o to chodzi). Zatem piszemy już tylko odpowiedź:

Odp. Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach: {lim}under{x{right}0}x^2(4+cos{1/x})=0

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 2000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 13 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Krzysztof napisał:

    Dzięki Wielkie Panie Krystianie:)

    Wyrazy szacunku dla Pana. (szkoda że nie Pan nie jestem moim sorem od Matematyki, Wtedy matem była by taka prosta i piękna a nie to co teraz:(

    Ale dobrze że jest Pan i Pana posty i filmiki:) Bardzo mi pomagają w pojęciu matem. która jak jest dobrze wyłożona wcale nie jest trudna:D:D:D

  2. Krystian Karczyński napisał:

    Dzięki, pewno, że nie jest trudna :)

  3. artur napisał:

    Może mam naiwne pytanie ale jednak je zadam. Przykład z góry jasny i przejrzysty. Z sinusami i cosinusami. Pytanie w jaki sposób szacować to jest budować te funkcje (ograniczenia z góry i z dołu) do badania granicy funkcji na mocy twierdzenia o trzech funkcjach Np w przypadku wielomianów.? Jak to robić w przypadku funkcji wielu zmiennych?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Pytanie dobre, ale odpowiedź niestety z konieczności gorsza.

      Nie ma jakiegoś „złotego środka”, reguły, zasady, tabelki z możliwościami. Do każdego przypadku trzeba podchodzić indywidualnie.

      Standardowe przypadki to sinus i cosinus, oraz (-1)^n ,a w pozostałych trzeba po prostu… kombinować. Niestety.

  4. artur napisał:

    Może jakieś ogólne zasady w jakim kierunku kombinować.

  5. Magdalena napisał:

    Moja kolezanka kupila panski kurs. Razem rozwiazywałysmy zadania. Po drodze natknelam sie na pewne przeszkody. Dlaczego no w takim wyrazeniu : tgx – sinx/ x^3 nie stosujemy twierdzenia na 3 ciągi?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam,

      Rozumiem, że chodziło Pani o twierdzenie o trzech funkcjach (a nie ciągach), prawda?

      A skąd taki pomysł, żeby akurat w tej granicy zastosować twierdzenie o trzech funkcjach?

  6. tyr napisał:

    Strasznie to głupawo uproszczone i ignoranckie. W twierdzeniu o 3 funkcjach tak się składa że można przyjąć że zachodzi nierówność w dowolnym otoczeniu, w którym to otoczeniu mamy policzyć granicę- i funkcje w tym punkcie są zbieżne do g, wtedy środkowa funkcja jest do tego zbieżna; przy czym nierówność zachodzić może tylko w małym przedziale.

    Oczywiście zupełnie nic o tym nie ma, nie ma nawet jasno napisane przy x dążącym do nieskończoności, czy nierówność zachodzić ma od pewnego momentu, czy dla wszystkich x z dziedziny funkcji- krótko mówiąc strasznie głupawo nieskładnie i niedopowiedzianie; pokazane w pseudoprosty sposób pomijając wiele ważnych ścisłych spraw teoretycznych.

  7. Piotr napisał:

    Witam. A pomógłby mi ktoś z tym przykładem? Lim x-> niesk (x- sin3x)/(2x+sin4x) właśnie z tw. o 3 funkcjach. z Góry dzięki :)

  8. Michał napisał:

    witaj! mam problem z całka a mianowicie Całka xe^-x dx oraz pochodną f(x)=(2x)^(3x) w obu przypadkach jest do potęgi w pierwszym przypadku jest tylko -x w potędze a w drugim 3x jest całe w potędze z góry dziekuje :)

  9. Lesio napisał:

    Kiedy twierdzenie o trzech funkcjach, a kiedy twierdzenie o dwóch funkcjach wystarczy do rozwiązania zadania? Jak stosować twierdzenie o dwóch funkcjach? Zgadywać kiedy pasuje tw o dwóch a kiedy o trzech?

Skomentuj, zapraszam