Granice funkcji liczone twierdzeniem o trzech funkcjach

Analogia z twierdzeniem o trzech ciągach

Odpowiednikiem twierdzenia z granic ciągów, zwanego „twierdzeniem o trzech ciągach” w granicach funkcji jest „twierdzenie o trzech funkcjach”. Leci ono zupełnie analogicznie: jeżeli mamy jakąś funkcję, ograniczoną z góry i z dołu przez jakieś inne funkcje (ograniczoną, tzn. że ich wartości są odpowiednio większe lub mniejsze od wartości tej funkcji) i te funkcje z góry i z dołu zbiegają do tej samej granicy w punkcie lub nieskończoności – to funkcja ta również zbiega do tej granicy w tym punkcie lub nieskończ0ności.

Zamotane? Dlatego właśnie wynaleziono zapis matematyczny, tam wygląda to prościej, spójrz:

Założenia:

Założenia ogólne twierdzenia o trzech funkcjachW prostokąciku może być liczba, do której dążą x, albo nieskończoność z dowolnym znakiem.

Teza:

Teza ogólna twierdzenia o trzech funkcjachPamiętamy z ciągów? Pamiętamy na pewno…:)

Jak liczy się więc granicę funkcji korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach?

Najpierw znajdujesz odpowiednie oszacowanie z góry i z dołu, później liczysz granice z tych oszacowań, pokazując, że są sobie równe i skończone, trzeba już tylko napisać ładną odpowiedź.

Przykład

{lim}under{x{right}0}x^2(4+cos{1/x})

Granice z sinusami i cosinusami szacujemy standardowo jedynką, korzystając z faktu, że cosinus/sinus czegokolwiek jest zawsze mniejszy lub równy od 1 i większy lub równy od -1. Prawdziwa jest więc nierówność:

Oszacowanie funkcjiczyli:

Uporządkowane oszacowanie funkcjiTeraz liczmy granice oszacowań z góry i z dołu (a właściwie nie liczymy, bo są bardzo proste…):

{lim}under{x{right}0}3x^2=0

{lim}under{x{right}0}5x^2=0

Wyszły takie same (i o to chodzi). Zatem piszemy już tylko odpowiedź:

Odp. Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach: {lim}under{x{right}0}x^2(4+cos{1/x})=0