Wykazywanie, że sinx nie osiąga granicy przy x dążącym do nieskończoności

Mamy granicę funkcji:

{lim}under{x{right}{infty}}(sinx)

Intuicyjnie czujemy, że powyższa granica nie istnieje. x-są są coraz większe i większe, a wartości sinusa „majtają się” cały czas pomiędzy -1 a 1.

Formalny dowód

Jak jednak formalnie to wykazać i udowodnić?

Z definicji granicy funkcji przy x dążącym do nieskończoności wiemy, że granica istnieje, jeśli dla każdego ciągu argumentów funkcji rozbiegającego w +infty odpowiadający im ciąg wartości funkcji zbiega do tej samej liczby (wtedy ta liczba właśnie jest tą granicą).

Żeby pokazać więc, że taka granica nie istnieje wystarczy wziąść dwa byle jakie ciągi argumentów rozbiegające w +infty i pokazać, że odpowiadające im ciągi wartości zbiegają do dwóch różnych liczb.

Wiemy, że funkcja sinus jest okresowa, mogą to być więc na przykład ciągi:

x_n_1={pi},2pi,3pi,...=n{pi}

x_n_2={pi}/2,{pi}/2+2pi,{pi}/2+4pi,...={pi}/2+2(n-1)pi

Oczywiście oba ciągi rozbiegają w nieskończoność przy n{right}{infty}

Teraz spójrzmy na odpowiadające tym ciągom ciągi wartości funkcji f(x)=sinx:

f(x_n_1)=sin{pi},sin{2pi},sin{3pi},...=0,0,0...

f(x_n_2)=sin{pi}/2,sin({pi}/2+2pi),sin({pi}/2+4pi),...=1,1,1...

Oczywiście pierwszy  ten ciąg zbiega do 0, a drugi ciąg zbiega do 1.

To wystarczy, żeby udowodnić, że granica funkcji:

{lim}under{x{right}{infty}}(sinx)

nie istnieje.

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 10000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. krecik napisał:

    Nie ‚wziąść’ tylko ‚wziąć’, jako humanista czuje się zobowiązany zwrócić Panu uwagę.

  2. Agata napisał:

    A w takim razie mam pytanie. Jeśli mam
    lim n-> nieskończoności z sinx/x to jaki będzie wynik tej granicy? Mnie wysżło pi/2 ale mam wątpliwości czy to tak ma być ….

  3. Agata napisał:

    Napisałam pi/2 dlatego, że stwierdziłam że nie moge zastosować wzoru na limn->- sinx/x =1
    dlatego że w tym wzorrze lim dąży do 0 a w rozwiązywanym preze mnie przykładzie lim n dąży do nieskończoności.
    Wobec tego zrobiłam małą szaloną twórczość :D i sinx/sinx razy sin , potem poskracałam wyszło mi sin 1 a z tabelki finkcji trygonometrycznych napisałam że sin1 =pi/2

    Miałam ten przykład dzisiaj na kolosie i mam szczere wątpliwości czy nie napisałam głupot :/

    Proszę mi pomóc – jaka miało być prawidłowe rozwiazanie?

    • Krystian Karczyński napisał:

      Witam, prawidłowe rozwiązanie to 0 :)

      Oczywiście, nie można zastosować wzoru \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1, bo x nie dąży do zera.

      To trzeba ruszyć twierdzeniem o trzech funkcjach, które omawiam w tym poście . To jest taki jakby odpowiednik twierdzenia o trzech ciągach.

      sinx jest zawsze mniejsze lub równe od 1 i większe lub równe od -1, zatem na pewno:

      \frac{-1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}

      Teraz liczę granice z funkcji ograniczających z dołu i z góry i pokazuję, że są równe sobie:

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0

      \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{x}=0

      Zatem, na mocy twierdzenia o trzech funkcjach, wynika stąd, że: \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0

Skomentuj, zapraszam