Wykazywanie, że sinx nie osiąga granicy przy x dążącym do nieskończoności

Mamy granicę funkcji:

{lim}under{x{right}{infty}}(sinx)

Intuicyjnie czujemy, że powyższa granica nie istnieje. x-są są coraz większe i większe, a wartości sinusa „majtają się” cały czas pomiędzy -1 a 1.

Formalny dowód

Jak jednak formalnie to wykazać i udowodnić?

Z definicji granicy funkcji przy x dążącym do nieskończoności wiemy, że granica istnieje, jeśli dla każdego ciągu argumentów funkcji rozbiegającego w +infty odpowiadający im ciąg wartości funkcji zbiega do tej samej liczby (wtedy ta liczba właśnie jest tą granicą).

Żeby pokazać więc, że taka granica nie istnieje wystarczy wziąść dwa byle jakie ciągi argumentów rozbiegające w +infty i pokazać, że odpowiadające im ciągi wartości zbiegają do dwóch różnych liczb.

Wiemy, że funkcja sinus jest okresowa, mogą to być więc na przykład ciągi:

x_n_1={pi},2pi,3pi,...=n{pi}

x_n_2={pi}/2,{pi}/2+2pi,{pi}/2+4pi,...={pi}/2+2(n-1)pi

Oczywiście oba ciągi rozbiegają w nieskończoność przy n{right}{infty}

Teraz spójrzmy na odpowiadające tym ciągom ciągi wartości funkcji f(x)=sinx:

f(x_n_1)=sin{pi},sin{2pi},sin{3pi},...=0,0,0...

f(x_n_2)=sin{pi}/2,sin({pi}/2+2pi),sin({pi}/2+4pi),...=1,1,1...

Oczywiście pierwszy  ten ciąg zbiega do 0, a drugi ciąg zbiega do 1.

To wystarczy, żeby udowodnić, że granica funkcji:

{lim}under{x{right}{infty}}(sinx)

nie istnieje.