Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Granice funkcji – definicja Heinego

 

Granice funkcji Wykład 5

 

Temat: Granice funkcji w punkcie – definicja Heine’go

 

Streszczenie

W artykule wprowadzę definicję granicy funkcji poprzez granicę ciągu. Jest to tzw. definicja Heinego granicy funkcji (jest także inna, Cauchy’ego – obie oczywiście równoważne). Przed przeczytaniem artykułu przydało by się wiedzieć jako tako, czym jest funkcja (przyporządkowanie jednych liczb innym), co to są argumenty, a co to wartości, jak rysować funkcję na wykresie (można wykonać prosty test: funkcja dla argumentu 3 przyjmuje wartość 4 – jak oznaczyć to na wykresie?), a także mieć jakie takie pojęcia o granicach ciągów, co to znaczy, że ciąg do czegoś zbiega itp.

Granica funkcji – o co mniej więcej chodzi?

Weźmy sobie taką (nietypową, ale dobrze w niej będzie widać, o co chodzi), funkcję:

Funkcja nr 1Przypomnijmy może ze średniej, że ten dziwny zapis nie oznacza jakiś dwóch funkcji, lecz JEDNĄ funkcję, która argumentom mniejszym lub równym od 2 przyporządkowuje wartości według wzoru x+1, a argumentom większym od 2 przyporządkowuje wartości według wzoru -4x+12.

Na przykład ta funkcja argumentowi x=1 przyporządkuje wartość 1+1=2 (bo 1 jest mniejsze od 2, czyli skorzystałem ze wzoru x+1).

Argumentowi x=10 ta funkcja przyporządkuje wartość -4*10+12=-28 (bo 3 jest większe od 2, czyli skorzystałem ze wzoru -4x+12 ).

Tabelka argumentów i wartości tej funkcji mogła by wyglądać tak:

Tabelka wartości funkcjiDla argumentów x mniejszych lub równych od 2 wartości y liczyłem ze wzoru y=x+1, a dla argumentów x większych od 2 wartości y liczyłem ze wzoru y=-4x+12.

Zaznaczając otrzymane argumenty i wartości na wykresie otrzymam:

Argumenty i wartości z tabelki zaznaczone na wykresiePrzechodząc do standardowego już „łączenia kropek” (mogę to zrobić, bo funkcja przyjmuje jakąś wartość dla wszystkich argumentów mniejszych lub równych 2, a nie tylko tych „okrągłych” -5,-4,-3 itd.) napotkam się na pewien problem. Na lewo od argumentu dwa mamy cały czas ten sam wzór y=x+1 i możemy naszkicować tam wykres:

Wykres z połączonymi wartościami na lewo od argumentu 2

i co dalej? Łącząc bezmyślnie i mechanicznie kropki otrzymamy zupełnie nieprawidłowy wykres:

Wykres z nieprawidłowo połączonymi kropkamiPrzykładając zaś linijkę do trzech kropek na prawo od 2 orientujemy się, że coś jest nie tak, bo wykres powinien wtedy wyglądać:

Prawidłowy wykres funkcji… i tak wygląda rzeczywiście. Przekonajmy się o tym na liczbach (wyciągnij kalkulator). Dla wszystkich argumentów x większych od 2 obowiązuje nas wzór -4x+12.

Czyli dla argumentu x=2,5 wartość funkcji równa będzie y=-4*2,5+12=2

Dla x=2,25 wartość: y=-4*2,25+12=3

Dla x=2,1 wartość: y=-4*2,1+12=3,6

Dla x=2,01 wartość: y=-4*2,01+12=3,96

Dla x=2,001 wartość: y=-4*2,001+12=3,996

…widać wyraźnie, że dla obranego przeze mnie ciągu argumentów x: 2,5;2,25;2,1;2,01;2,001 dążącego do liczby 2, odpowiadający im ciąg wartości: 2; 3; 3,6; 3,96; 3,996 dąży do 4 (ale nigdy dokładnie 4 nie osiąga).

Zaznaczając teraz kropki na wykresie wyglądało by to tak:

Wykres funkcji z zaznaczonymi wartościami na prawo od 4

…a łącząc je:

Końcowy wykres funkcji…gdzie kółeczko podkreśla, że wykres dążąc do wartości cztery nigdy dokładnie jej nie osiąga.

No i tyle. Takie sytuacje właśnie, kiedy argumenty zbiegają do jakiejś liczby (powiedzmy x_0) i odpowiadające im wartości funkcji również zbiegają do jakiejś liczby (powiedzmy g) oznaczają, że funkcja osiąga w punkcie x_0 granicę równą g.

Nie takie trudne, prawda? Niestety, musimy to – ale tylko troszeczkę – skomplikować.

Granice lewo i prawostronne funkcji

W naszym przykładzie należy jeszcze rozróżnić sytuację, w której ciąg argumentów zbiega do 2 z prawej strony (wtedy odpowiadający im ciąg wartości zbiega do 4), od tej, w której ciąg argumentów zbiega do 2 ze strony lewej, wtedy odpowiadający im ciąg wartości zbiega do 3 (możesz się o tym przekonać biorąc na przykład ciąg argumentów: 1,5; 1,75; 1,9; 1,99; 1,999, podstawiając do wzoru y=x+1, bo te argumenty są mniejsze od 2 i sprawdzając, że odpowiadające im wartości dążą do 3).

Mówimy więc, że funkcja osiąga w 2 granicę prawostronną równą 4 i granicę lewostronną równą 3.

Gdyby obie te granice, tzn. lewo i prawostronna były równe, można by było powiedzieć jednym zdaniem: „funkcja osiąga w 2 granicę równą …” w miejsce kropek wstawiając oczywiście wartość tej granicy.

Definicja granicy funkcji

Pokuśmy się więc teraz o formalne zdefiniowanie granicy funkcji (na początku granicy prawostronnej). Jest to tzw. definicja Heinego. Wykorzystuje ona definicję granicy ciągu, granicy ciągu już nie definiujemy (bo zakładamy już, że wiemy co to znaczy, że „ciąg zbiega”):

Liczbę g nazywamy granicą prawostronną funkcji w x_0, jeśli

Definicja granicy funkcji Heinego

Czytamy:

Jeśli dla każdego ciągu argumentów dążącego z prawej strony do x_o, odpowiadający im ciąg wartości dąży do g, liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x_0.

Tu podkreślmy super ważną rzecz, o jakiej jeszcze nie mówiliśmy w tym naszym opisywaniu „mniej więcej” granicy funkcji. Są to te dwa słowa” „dla każdego”. Ciąg argumentów dążący do x_0 musi być dowolny.

W naszym przykładzie ja wybrałem sobie jakiś przykładowy, konkretny ciąg argumentów dążący do 2 i pokazałem (powiedzmy…), że odpowiadający im ciąg wartości zbiega do 4. W sensie formalnym NIE dowiodło by jednak to w żaden sposób, że funkcja ma w 2 granicę prawostronną równą 4. Takim dowodem było by dopiero to, gdybym pokazał, że dla DOWOLNEGO ciągu argumentów (a nie tylko pierwszego z brzegu, jaki sobie wybrałem) dążącego do dwóch z prawej strony ciąg wartości zbiega do 4.

Formalna definicja granicy lewostronnej funkcji wygląda – jak się domyślamy – zupełnie analogicznie:

Liczbę g nazywamy granicą lewostronną funkcji w x_0, jeśli

Definicja granicy lewostronnej funkcji wg. HeinegoCzytamy:

Jeśli dla każdego (jeszcze raz: dla każdego) ciągu argumentów dążących do x_0 z lewej strony odpowiadający im ciąg wartości funkcji dąży do g.

A jak zdefiniować ogólną granicę funkcji w punkcie (bez rozróżnienia, czy jest to granica lewo, czy prawostronna)?

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w x_0, jeśli:

Definicja granicy funkcjiCzyli:

Jeśli dla dowolnego ciągu argumentów dążących do x_0 odpowiadające im ciągi wartości zbiegają do tej samej liczby g, oznacza to, że funkcja osiąga granicę równą g w punkcie x_0

Podkreślmy jeszcze raz, że granica funkcji istnieje, kiedy granice lewo i prawostronne funkcji są sobie równe. Zatem na przykład funkcja z naszego przykładu NIE osiąga granicy w punkcie 2 (choć osiąga w nim granice lewo i prawostronne).

KONIEC

Kliknij, zobaczyć, jak inaczej zdefiniować można granice funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, czym są granice niewłaściwe ciągu (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Kurs Granice

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 350 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 120 przykłady do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu granic w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

11 komentarzy na “Granice funkcji – definicja Heinego”

  1. Ania 20 listopada 2013 o 02:41 Link do komentarza

    Witam serdecznie! Zauważyłam w wykładzie jeden czysto ‚literówkowy’ błąd – mianowicie tutaj „Czyli dla argumentu x=2,5 wartość funkcji równa będzie y=-4*3,5+12=2” przy podstawieniu do y, x zamiast 3,5 powinno być 2,5, chociaż wynik mimo wszystko jest dobry 😉
    Również to zdanie może być na pierwszy rzut oka trochę niejasne, ze względu na trochę pogmatwaną składnię:
    „Przypomnijmy może ze średniej, że ten dziwny zapis nie oznacza jakiś dwóch funkcji, która argumentom mniejszym lub równym od 2 przyporządkowuje wartości według wzoru x+1, a argumentom większym od 2 przyporządkowuje wartości według wzoru -4x+12.” Proponowałabym napisać np. „(…) ten dziwny zapis nie oznacza jakiś dwóch funkcji, LECZ FUNKCJĘ KTÓRA (…)”. Oczywiście jest to mały błąd, więc w sumie przepraszam, że czepiam się takich drobiazgów 😉
    Poza tym wspaniały wykład, pomógł mi zrozumieć definicję Heinego dużo szybciej niż gdybym to miała robić tylko z notatek z wykładu 😉 Mimo iż nie miałam (jeszcze?) wprowadzonej granicy prawo i lewostronnej, zrozumiałam wszystko bez większych problemów! Akurat przy tych granicach prawo i lewostronnych, skołowało mnie trochę twierdzenie, które miałam na wykładzie pt. „Funkcja posiada w punkcie x0 co najwyżej jedną granicę.” oraz właśnie to, iż w tej przykładowej funkcji w punkcie 2 miała ona dwie granice (prawostronną i lewostronną). Dopiero na końcu, po doczytaniu, że obie te granice muszą być równe, by ta ogólna granica funkcji w ogóle istniała, wszystko się wyjaśniło 😉
    Dziękuję bardzo za klarowne wyjaśnienie definicji Heinego i przechodzę do Cauchy’ego! 🙂
    Pozdrawiam

    • Krystian Karczyński 20 listopada 2013 o 10:40 Link do komentarza

      Dzięki za korektę, nie ma małych błędów w matematyce 🙂

  2. Magda 26 listopada 2013 o 23:42 Link do komentarza

    A czy mógłby Pan napisać jeszcze i wyjaśnić def funkcji dążącej do nieskończoności… :(( Mamy wejściówki z teorii z książki Matematyka dla Biologów i tam to jest. ;(

  3. Magda 26 listopada 2013 o 23:54 Link do komentarza

    Hmmm a dlaczego w def. granicy funkcji dążącej do xo prawo/ lewo stronnie zawsze Pan pisze pod limf(xn) wyrażenie n–> +nieskończoności ? Wydawało mi się,że takie wyrażenie pod lim piszemy wtedy, kiedy granica dąży do nieskończoności,a nie do punktu.

    • Krystian Karczyński 3 grudnia 2013 o 15:08 Link do komentarza

      No bo to jest właśnie granica ciągu 🙂

      Granica funkcji to wg. tej definicji JEST granica pewnego wyjątkowego ciągu.

  4. Łukasz 17 lutego 2014 o 13:52 Link do komentarza

    Przepraszam, ale coś nie jest dla mnie jasne. W artykule jest napisane:
    „(…)ciąg argumentów zbiega do 2 ze strony lewej, wtedy odpowiadający im ciąg wartości zbiega do 3 (możesz się o tym przekonać biorąc na przykład ciąg argumentów: 1,5; 1,75; 1,9; 1,99; 1,999”. Przecież funkcja x+1 jest wykonywana dla x <= 2 czyli tak samo jako argument możemy wziąć 2. Wtedy nasza funkcja wynosi 3. W takim razie jak funkcja może zbiegać do 3 skoro przyjmuję taką wartość?

    • Krystian Karczyński 18 lutego 2014 o 09:51 Link do komentarza

      „W takim razie jak funkcja może zbiegać do 3 skoro przyjmuję taką wartość?”

      Ta funkcja zbiega do 3 (z lewej strony x=2) i przyjmuje wartość 3 (dla x=2). W czym problem?

  5. Rafał 19 lutego 2014 o 00:58 Link do komentarza

    znalazłem błąd w rozwiązaniach do lekcji nr 2 z granic w zadaniu nr 10, w arkuszu odpowiedź to: 2, kiedy powinno być 3

  6. Ignacy 28 maja 2014 o 21:36 Link do komentarza

    Mógłby Pan dla tej funkcji wykazać ,że w x=2 nie ma granicy ale z definicji Cauchy’ego?
    Z góry dziękuję.
    Pozdrawiam

  7. Iwona 15 listopada 2015 o 12:58 Link do komentarza

    Dzień dobry Najlepszemu Nauczycielowi matematyki na świecie!!! Mam pytanie co do filmu z kursu granic – lekcja 6 rozkład na czynniki – dlaczego w przykładzie w mniej więce 25 minucie tego filmu x dążące do 3 ( x „strzałka „3) zamienia się w kolejnych linijkach na x dążące do -1?

Dodaj komentarz