Wykazywanie, że liczba jest (bądź nie jest) granicą funkcji z definicji

 

Granice funkcji Wykład 7

 

Temat: Wyznaczanie granic funkcji z definicji

 

Streszczenie

W artykule pokażę na kilku przykładach wykazywać z definicji (Cauchy’ego lub Heine’go), że liczba jest, lub nie jest granicą funkcji. Przed przystąpieniem do czytania artykułu potrzebne jest zrozumienie obu definicji granic funkcji – opierającej się na granicach ciągu definicji Heine’go i opierającej się na otoczeniach punktu definicji Cauchy’ego.

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład 1

Wykaż z definicji, że liczba 1/4 jest granicą funkcji f(x)=1/{x+3} przy x dążącym do 1.

Innymi słowy, mamy wykazać, że:

{lim}under{x{right}1}1/{x+3}=1/4

Do wykazania użyjemy definicji granic funkcji Cauchy’ego. Przypomnijmy ją:

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x_0, jeśli:

Definicja granicy funkcji formalna

W naszym konkretnym przykładzie mamy:

f(x)=1/{x+3}

g=1/4

x_0=1

Mamy więc pokazać, że niezależnie od tego, jak małe epsilon sobie nie obierzemy, zawsze znajdziemy do niego takie delta, że z nierówności: 0<delim{|}{x-1}{|}<delta wynikać będzie nierówność delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon.

Weźmy więc dowolny epsilon i nierówność:

delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon

Jeszcze raz zwróćmy uwagę na ważną rzecz. Dobór konkretnego delta w nierówności:0<delim{|}{x-1}{|}<delta zależy tylko od nas, możemy go sobie wybrać jaki nam się tylko podoba, ważne jest tylko, żeby dla tego naszego wyboru zachodziło:delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon.

Zilustrujmy sprawę na rysunku. Mamy obrane dowolnie małe otoczenie wartości 1/4 – o szerokości epsilon (odpowiada to nierówności delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon):

Zaznaczone otoczenie wartości 1/4Na osi argumentów OX trzeba teraz dobrać takie otoczenie 1, żeby wartości odpowiadające temu otoczeniu zawsze zawierały się w otoczeniu zaznaczonym powyżej. Ważną rzeczą jest, że można to zrobić dowolnie. Można więc zrobić tak:

Najpierw wyznaczymy x_1 i x_2 takie, że f(x_1)=0,25+epsilon i f(x_2)=0,25-epsilon jak na rysunku:

Zaznaczone x_1 i x_2 na rysunkuJak się do tego zabrać? Widać z rysunku, że wartość funkcji w punkcie x_1 musi byś równa 0,25+epsilon, a wartość funkcji w punkcie x_2 musi byś równa 0,25-epsilon. Czyli:

f(x_1)=0,25+epsilon

f(x_2)=0,25-epsilon

Wzorem na wartość funkcji jest f(x)=1/{x+3}, zatem:

f(x_1)=0,25+epsilon{doubleright}1/{x_1+3}=0,25+epsilon

f(x_2)=0,25-epsilon{doubleright}1/{x_2+3}=0,25-epsilon

Rozwiązuję równanie pierwsze:

1/{x_1+3}=0,25+epsilon

1=(0,25+epsilon)(x_1+3)

1/{0,25+epsilon}=x_1+3

1/{0,25+epsilon}-3=x_1

x_1=1/{0,25+epsilon}-3

x_1=1/{0,25+epsilon}-{3(0,25+epsilon)}/{0,25+epsilon}

x_1={1-3(0,25+epsilon)}/{0,25+epsilon}

x_1={1-0,75-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}

x_1={0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}

Mam policzone x_1. Analogicznie liczę x_2:

1/{x_2+3}=0,25-epsilon

1=(0,25-epsilon)(x_2+3)

1/{0,25-epsilon}=x_2+3

1/{0,25-epsilon}-3=x_2

x_2=1/{0,25-epsilon}-3

x_2=1/{0,25-epsilon}-{3(0,25-epsilon)}/{0,25-epsilon}

x_2={1-3(0,25-epsilon)}/{0,25-epsilon}

x_2={1-0,75+3{epsilon}}/{0,25-epsilon}

x_2={0,25+3{epsilon}}/{0,25-epsilon}

Mamy więc policzone x_2. Nanoszę te wartości na rysunek:

Zaznaczone i wyliczone x_1 i x_2 na rysunkuNasze dowolne otoczenie argumentów 1 powinno zawierać się w przedziale pomiędzy x_1 i x_2. – wtedy odpowiadające mu otoczenie wartości na pewno będzie zawierać się w otoczeniu wartości z epsilonem (zaznaczonym na rysunku na niebiesko). Jakie wybrać?

Bierzemy otoczenie o długości od 1 do x_1 lub x_2 – w zależności od tego, które z nich jest bliżej 1. W naszym przykładzie będzie to x_1 (na końcu pokażę Ci, jak robić to bardziej ogólnie). Zaznaczam to otoczenie na rysunku:

Zaznaczone otoczenie 1 na rysunkuNa rysunku zaznaczyłem też delta – które obieram właśnie w ten sposób (jeszcze raz podkreślam, że zupełnie arbitralnie – byle zawierało się pomiędzy x_1 i x_2). Policzymy je za chwilę (od 1 trzeba będzie odjąć x_1), a na razie zwróćmy uwagę, że dla tego wybranego przez nas otoczenia spełniona odpowiadające mu otoczenie wartości zawiera się w tym wyjściowym z epsilonem:

Zaznaczony zbiór wartości odpowiadający wybranemu otoczeniu 1 Z rysunku widać, że nasze delta obliczymy tak:

delta=1-{0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}={0,25+epsilon}/{0,25+epsilon}-{0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}={4{epsilon}}/{0,25+epsilon}

Jasne jest, że powyższe rozumowanie można by przeprowadzić niezależnie od wyboru epsilon na początku. Czyli dla każdego epsilon dobierzemy takie delta={4{epsilon}}/{0,25+epsilon}, że spełniony będzie warunek:

0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon

Zatem funkcja f(x)=1/{x+3} w punkcie x_0=1 ma granicę równą 1/4. Pokazaliśmy, że:

{lim}under{x{right}1}1/{x+3}=1/4

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład ogólny

Uogólniając sposób wykorzystywany w powyższym przykładzie (tak, żeby nie trzeba było np. rysować wykresu funkcji) aby wykazać, że funkcja f(x) osiąga granicę g w punkcie x_0 z definicji Cauchy’ego, można:

1. Rozwiązać równania:

f(x_1)=g-epsilon

f(x_2)=g+epsilon

2. Przyjąć za delta:

delta=min(delim{|}{x_0-x_1}{|},delim{|}{x_0-x_2}{|})

– czyli mniejszą spomiędzy odległości między x_0 a krańcami przedziału x_1 i x_2 (w przykładzie powyżej wynikało jasno z rysunku, która z nich jest mniejsza).

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład 2

Wykaż z definicji Cauchy’ego, że liczba 0,3 nie jest granicą funkcji 1/{x+3} przy x dążącym do 1.

Zilustrujmy. Mamy dowolnie małe otoczenie wartości 0,3:

Otoczenie wartości 0,3i mamy pokazać, że nieprawdą jest, że dla każdego takiego otoczenia znajdziemy takie otoczenie argumentu 1, że odpowiadające mu otoczenie wartości zawierać się będzie w wybranym na początku.

Z logicznego punktu widzenia: mamy pokazać, że istnieje takie otoczenie wartości 0,3, dla którego nie znajdziemy żadnego otoczenia argumentu 1, że odpowiadające mu otoczenie wartości zawiera się w początkowym otoczeniu wartości 0,3. Ujmując to bardziej szpanersko: negacja odwraca kwantyfikatory.

Nie będzie to trudne. Spójrzmy na rysunek:

Zaznaczone wartości x1, x2Widać, że choćbyśmy stawali na głowie, nie dobierzemy takiego otoczenia 1, żeby odpowiadające mu otoczenie wartości zawierało się w początkowym:

Zaznaczone przykładowe otoczenie 1Widać rysunku, że wystarczy wziąść byle jakie x_2<1, Przyrównać f(x_2) do 0,3-epsilon i wyznaczyć epsilon. Pokażemy w ten sposób, że istnieje taki epsilon, dla którego nie istnieje takie delta, że:

0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-0,3}{|}<epsilon

…a będzie to znaczyło, że funkcja nie osiąga granicy równej 0,3 w punkcie 1.

Do dzieła zatem. Biorę sobie (arbitralnie) x_2=0,8

Czyli obliczyć muszę równanie:

f(x_2)=0,3-epsilon

1/{0,8+3}=0,3-epsilon

1/{3,8}=0,3-epsilon

1/{38/10}=0,3-epsilon

10/38=0,3-epsilon

5/19=0,3-epsilon

5/19-0,3=-epsilon

5/19-3/10=-epsilon

50/190-57/190=-epsilon

-7/190=-epsilon

epsilon=7/190

Zatem istnieje taki epsilon (epsilon=7/190), dla którego nie istnieje takie delta, że:

0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-0,3}{|}<epsilon

Czyli pokazaliśmy, że funkcja nie osiąga granicy równej 0,3 w punkcie 1.

Granice funkcji Heine’go – przykład 3

Korzystając z definicji granicy funkcji Heine’go wykaż, że granicą funkcji f(x)=2x^2+1 w punkcie 2 jest liczba 9.

Należy więc wykazać, że:

{lim}under{x{right}2}(2x^2+1)=9

…korzystając z definicji granic funkcji Heine’go.

Przypomnijmy definicję:
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w x_0, jeśli:

Definicja granicy funkcji

W naszym zadaniu będziemy wykazywać, że dla dowolnego ciągu wyrazów dążącego do 2, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f(x)=2x^2+1 dąży zawsze do 9.

Uwaga: nie wystarczy, że weźniemy sobie jakiś byle jaki ciąg dążący do 2, np. x_n=2+1/n i pokażemy, że odpowiadający mu ciąg wartości: f(2+1/n)=2(2+1/n)^2+1  zbiega do 9. Nie wystarczy, bo definicja wymaga, aby ta zależność zachodziła „zawsze”, dla dowolnego ciągu. Nie wystarczy wiec, że pokażemy, że zachodzi w jakimś konkretnym, wybranym ciągu.

Bierzemy więc:

{lim}under{n{right}{infty}}(2(x_n)^2+1)

Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że:

{lim}under{n{right}{infty}}(2(x_n)^2+1)=2*2^2+1=2*4+1=9

dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.

Dowodzi to, że dana funkcja osiąga granicę równą 9 w punkcie 2.

Granice funkcji Heine’go – przykład 4

Korzystając z definicji granicy funkcji Heine’go wykaż, że granicą funkcji f(x)={3x-1}/{3x} w punkcie 1 nie jest liczba 2.

Definicja granicy funkcji mówi nam, że dla każdego ciągu argumentów dążących do 1 odpowiadający im ciąg wartości powinien dążyć do 2 – żeby 2 była granicą funkcji w 1.

Aby pokazać coś odwrotnego, czyli to, że 2 nie jest granicą funkcji w 1 musimy więc pokazać, że istnieje taki ciąg argumentów dążący do 1, że odpowiadający mu ciąg wartości nie dąży do 2 – logiczne, prawda?

Bierzemy więc na przykład bardzo typowy ciąg argumentów dążący do 1: x_n=1+1/n (1/n dąży do 0 ze wzoru: stała podzielić przez nieskończoność).

Odpowiadający mu ciąg wartości funkcji wyglądać będzie następująco: f(1+1/n)={3(1+1/n)-1}/{3(1+1/n)}. Jego granica…

{lim}under{n{right}{infty}}{3(1+1/n)-1}/{3(1+1/n)}={3*1-1}/{3*1}=2/3

…nie jest równa 2.

Nie jest więc prawdą, że dla każdego ciągu argumentów dążących do 1 odpowiadający im ciąg wartości dąży do 2 (bo znaleźliśmy taki ciąg argumentów, że odpowiadający im ciąg wartości dąży do 2/3, a nie do 2).

Zatem pokazaliśmy, że dana funkcja nie osiąga granicy równej 2 w punkcie 1.

Porównanie definicji

Czy tylko ja odnoszę wrażenie, że definicja Heinego jest szybsza, bardziej zrozumiała i wygodniejsza do praktycznych zastosowań? 🙂

KONIEC

Kliknij, aby zobaczyć, jak definicję granicy funkcji zastosować do wykazania trudniejszej granicy (następny wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jaka była definicja Cauchyego granicy funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Kurs Granice

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 8 Lekcji
  • 350 minut nagrań video
  • 80 pytań testowych i 120 przykłady do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu granic w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej

6 komentarzy na “Wykazywanie, że liczba jest (bądź nie jest) granicą funkcji z definicji”

  1. Łukasz 17 lipca 2013 o 23:46 Link do komentarza

    wziąć* 😉

  2. karloss 22 listopada 2013 o 01:28 Link do komentarza

    „opierającej się na otoczeniach punktu definicji Heine’go.”
    A nie przypadkiem Cauchyego?

  3. Ania 17 grudnia 2013 o 17:37 Link do komentarza

    Granice funkcji Heinego – przykład 3
    „Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że: dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.”
    Dlaczego dąży do 1? Czy tam nie powinno być 2? Przecież naszym xo jest 2, nie wiem skąd tam wzięło się 1..

  4. Celestyn 24 września 2014 o 18:10 Link do komentarza

    Jesteś genialny, dziękuję. To jest najlepsze wytłumaczenie jakie znalazłem w całym internecie. <3

  5. Jakup 5 grudnia 2014 o 20:52 Link do komentarza

    Granice funkcji Heinego – przykład 3
    „Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że: dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.”
    Dlaczego dąży do 1? Czy tam nie powinno być 2? Przecież naszym xo jest 2, nie wiem skąd tam wzięło się 1..

Dodaj komentarz