Wykazywanie, że liczba jest (bądź nie jest) granicą funkcji z definicji

 

Granice funkcji Wykład 7

 

Temat: Wyznaczanie granic funkcji z definicji

 

Streszczenie

W artykule pokażę na kilku przykładach wykazywać z definicji (Cauchy’ego lub Heine’go), że liczba jest, lub nie jest granicą funkcji. Przed przystąpieniem do czytania artykułu potrzebne jest zrozumienie obu definicji granic funkcji – opierającej się na granicach ciągu definicji Heine’go i opierającej się na otoczeniach punktu definicji Cauchy’ego.

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład 1

Wykaż z definicji, że liczba 1/4 jest granicą funkcji f(x)=1/{x+3} przy x dążącym do 1.

Innymi słowy, mamy wykazać, że:

{lim}under{x{right}1}1/{x+3}=1/4

Do wykazania użyjemy definicji granic funkcji Cauchy’ego. Przypomnijmy ją:

Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x_0, jeśli:

Definicja granicy funkcji formalna

W naszym konkretnym przykładzie mamy:

f(x)=1/{x+3}

g=1/4

x_0=1

Mamy więc pokazać, że niezależnie od tego, jak małe epsilon sobie nie obierzemy, zawsze znajdziemy do niego takie delta, że z nierówności: 0<delim{|}{x-1}{|}<delta wynikać będzie nierówność delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon.

Weźmy więc dowolny epsilon i nierówność:

delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon

Jeszcze raz zwróćmy uwagę na ważną rzecz. Dobór konkretnego delta w nierówności:0<delim{|}{x-1}{|}<delta zależy tylko od nas, możemy go sobie wybrać jaki nam się tylko podoba, ważne jest tylko, żeby dla tego naszego wyboru zachodziło:delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon.

Zilustrujmy sprawę na rysunku. Mamy obrane dowolnie małe otoczenie wartości 1/4 – o szerokości epsilon (odpowiada to nierówności delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon):

Zaznaczone otoczenie wartości 1/4Na osi argumentów OX trzeba teraz dobrać takie otoczenie 1, żeby wartości odpowiadające temu otoczeniu zawsze zawierały się w otoczeniu zaznaczonym powyżej. Ważną rzeczą jest, że można to zrobić dowolnie. Można więc zrobić tak:

Najpierw wyznaczymy x_1 i x_2 takie, że f(x_1)=0,25+epsilon i f(x_2)=0,25-epsilon jak na rysunku:

Zaznaczone x_1 i x_2 na rysunkuJak się do tego zabrać? Widać z rysunku, że wartość funkcji w punkcie x_1 musi byś równa 0,25+epsilon, a wartość funkcji w punkcie x_2 musi byś równa 0,25-epsilon. Czyli:

f(x_1)=0,25+epsilon

f(x_2)=0,25-epsilon

Wzorem na wartość funkcji jest f(x)=1/{x+3}, zatem:

f(x_1)=0,25+epsilon{doubleright}1/{x_1+3}=0,25+epsilon

f(x_2)=0,25-epsilon{doubleright}1/{x_2+3}=0,25-epsilon

Rozwiązuję równanie pierwsze:

1/{x_1+3}=0,25+epsilon

1=(0,25+epsilon)(x_1+3)

1/{0,25+epsilon}=x_1+3

1/{0,25+epsilon}-3=x_1

x_1=1/{0,25+epsilon}-3

x_1=1/{0,25+epsilon}-{3(0,25+epsilon)}/{0,25+epsilon}

x_1={1-3(0,25+epsilon)}/{0,25+epsilon}

x_1={1-0,75-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}

x_1={0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}

Mam policzone x_1. Analogicznie liczę x_2:

1/{x_2+3}=0,25-epsilon

1=(0,25-epsilon)(x_2+3)

1/{0,25-epsilon}=x_2+3

1/{0,25-epsilon}-3=x_2

x_2=1/{0,25-epsilon}-3

x_2=1/{0,25-epsilon}-{3(0,25-epsilon)}/{0,25-epsilon}

x_2={1-3(0,25-epsilon)}/{0,25-epsilon}

x_2={1-0,75+3{epsilon}}/{0,25-epsilon}

x_2={0,25+3{epsilon}}/{0,25-epsilon}

Mamy więc policzone x_2. Nanoszę te wartości na rysunek:

Zaznaczone i wyliczone x_1 i x_2 na rysunkuNasze dowolne otoczenie argumentów 1 powinno zawierać się w przedziale pomiędzy x_1 i x_2. – wtedy odpowiadające mu otoczenie wartości na pewno będzie zawierać się w otoczeniu wartości z epsilonem (zaznaczonym na rysunku na niebiesko). Jakie wybrać?

Bierzemy otoczenie o długości od 1 do x_1 lub x_2 – w zależności od tego, które z nich jest bliżej 1. W naszym przykładzie będzie to x_1 (na końcu pokażę Ci, jak robić to bardziej ogólnie). Zaznaczam to otoczenie na rysunku:

Zaznaczone otoczenie 1 na rysunkuNa rysunku zaznaczyłem też delta – które obieram właśnie w ten sposób (jeszcze raz podkreślam, że zupełnie arbitralnie – byle zawierało się pomiędzy x_1 i x_2). Policzymy je za chwilę (od 1 trzeba będzie odjąć x_1), a na razie zwróćmy uwagę, że dla tego wybranego przez nas otoczenia spełniona odpowiadające mu otoczenie wartości zawiera się w tym wyjściowym z epsilonem:

Zaznaczony zbiór wartości odpowiadający wybranemu otoczeniu 1 Z rysunku widać, że nasze delta obliczymy tak:

delta=1-{0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}={0,25+epsilon}/{0,25+epsilon}-{0,25-3{epsilon}}/{0,25+epsilon}={4{epsilon}}/{0,25+epsilon}

Jasne jest, że powyższe rozumowanie można by przeprowadzić niezależnie od wyboru epsilon na początku. Czyli dla każdego epsilon dobierzemy takie delta={4{epsilon}}/{0,25+epsilon}, że spełniony będzie warunek:

0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-1/4}{|}<epsilon

Zatem funkcja f(x)=1/{x+3} w punkcie x_0=1 ma granicę równą 1/4. Pokazaliśmy, że:

{lim}under{x{right}1}1/{x+3}=1/4

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład ogólny

Uogólniając sposób wykorzystywany w powyższym przykładzie (tak, żeby nie trzeba było np. rysować wykresu funkcji) aby wykazać, że funkcja f(x) osiąga granicę g w punkcie x_0 z definicji Cauchy’ego, można:

1. Rozwiązać równania:

f(x_1)=g-epsilon

f(x_2)=g+epsilon

2. Przyjąć za delta:

delta=min(delim{|}{x_0-x_1}{|},delim{|}{x_0-x_2}{|})

– czyli mniejszą spomiędzy odległości między x_0 a krańcami przedziału x_1 i x_2 (w przykładzie powyżej wynikało jasno z rysunku, która z nich jest mniejsza).

Granice funkcji Cauchy’ego – przykład 2

Wykaż z definicji Cauchy’ego, że liczba 0,3 nie jest granicą funkcji 1/{x+3} przy x dążącym do 1.

Zilustrujmy. Mamy dowolnie małe otoczenie wartości 0,3:

Otoczenie wartości 0,3i mamy pokazać, że nieprawdą jest, że dla każdego takiego otoczenia znajdziemy takie otoczenie argumentu 1, że odpowiadające mu otoczenie wartości zawierać się będzie w wybranym na początku.

Z logicznego punktu widzenia: mamy pokazać, że istnieje takie otoczenie wartości 0,3, dla którego nie znajdziemy żadnego otoczenia argumentu 1, że odpowiadające mu otoczenie wartości zawiera się w początkowym otoczeniu wartości 0,3. Ujmując to bardziej szpanersko: negacja odwraca kwantyfikatory.

Nie będzie to trudne. Spójrzmy na rysunek:

Zaznaczone wartości x1, x2Widać, że choćbyśmy stawali na głowie, nie dobierzemy takiego otoczenia 1, żeby odpowiadające mu otoczenie wartości zawierało się w początkowym:

Zaznaczone przykładowe otoczenie 1Widać rysunku, że wystarczy wziąść byle jakie x_2<1, Przyrównać f(x_2) do 0,3-epsilon i wyznaczyć epsilon. Pokażemy w ten sposób, że istnieje taki epsilon, dla którego nie istnieje takie delta, że:

0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-0,3}{|}<epsilon

…a będzie to znaczyło, że funkcja nie osiąga granicy równej 0,3 w punkcie 1.

Do dzieła zatem. Biorę sobie (arbitralnie) x_2=0,8

Czyli obliczyć muszę równanie:

f(x_2)=0,3-epsilon

1/{0,8+3}=0,3-epsilon

1/{3,8}=0,3-epsilon

1/{38/10}=0,3-epsilon

10/38=0,3-epsilon

5/19=0,3-epsilon

5/19-0,3=-epsilon

5/19-3/10=-epsilon

50/190-57/190=-epsilon

-7/190=-epsilon

epsilon=7/190

Zatem istnieje taki epsilon (epsilon=7/190), dla którego nie istnieje takie delta, że:

0<delim{|}{x-1}{|}<delta{doubleright}delim{|}{1/{x+3}-0,3}{|}<epsilon

Czyli pokazaliśmy, że funkcja nie osiąga granicy równej 0,3 w punkcie 1.

Granice funkcji Heine’go – przykład 3

Korzystając z definicji granicy funkcji Heine’go wykaż, że granicą funkcji f(x)=2x^2+1 w punkcie 2 jest liczba 9.

Należy więc wykazać, że:

{lim}under{x{right}2}(2x^2+1)=9

…korzystając z definicji granic funkcji Heine’go.

Przypomnijmy definicję:
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w x_0, jeśli:

Definicja granicy funkcji

W naszym zadaniu będziemy wykazywać, że dla dowolnego ciągu wyrazów dążącego do 2, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f(x)=2x^2+1 dąży zawsze do 9.

Uwaga: nie wystarczy, że weźniemy sobie jakiś byle jaki ciąg dążący do 2, np. x_n=2+1/n i pokażemy, że odpowiadający mu ciąg wartości: f(2+1/n)=2(2+1/n)^2+1  zbiega do 9. Nie wystarczy, bo definicja wymaga, aby ta zależność zachodziła „zawsze”, dla dowolnego ciągu. Nie wystarczy wiec, że pokażemy, że zachodzi w jakimś konkretnym, wybranym ciągu.

Bierzemy więc:

{lim}under{n{right}{infty}}(2(x_n)^2+1)

Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że:

{lim}under{n{right}{infty}}(2(x_n)^2+1)=2*2^2+1=2*4+1=9

dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.

Dowodzi to, że dana funkcja osiąga granicę równą 9 w punkcie 2.

Granice funkcji Heine’go – przykład 4

Korzystając z definicji granicy funkcji Heine’go wykaż, że granicą funkcji f(x)={3x-1}/{3x} w punkcie 1 nie jest liczba 2.

Definicja granicy funkcji mówi nam, że dla każdego ciągu argumentów dążących do 1 odpowiadający im ciąg wartości powinien dążyć do 2 – żeby 2 była granicą funkcji w 1.

Aby pokazać coś odwrotnego, czyli to, że 2 nie jest granicą funkcji w 1 musimy więc pokazać, że istnieje taki ciąg argumentów dążący do 1, że odpowiadający mu ciąg wartości nie dąży do 2 – logiczne, prawda?

Bierzemy więc na przykład bardzo typowy ciąg argumentów dążący do 1: x_n=1+1/n (1/n dąży do 0 ze wzoru: stała podzielić przez nieskończoność).

Odpowiadający mu ciąg wartości funkcji wyglądać będzie następująco: f(1+1/n)={3(1+1/n)-1}/{3(1+1/n)}. Jego granica…

{lim}under{n{right}{infty}}{3(1+1/n)-1}/{3(1+1/n)}={3*1-1}/{3*1}=2/3

…nie jest równa 2.

Nie jest więc prawdą, że dla każdego ciągu argumentów dążących do 1 odpowiadający im ciąg wartości dąży do 2 (bo znaleźliśmy taki ciąg argumentów, że odpowiadający im ciąg wartości dąży do 2/3, a nie do 2).

Zatem pokazaliśmy, że dana funkcja nie osiąga granicy równej 2 w punkcie 1.

Porównanie definicji

Czy tylko ja odnoszę wrażenie, że definicja Heinego jest szybsza, bardziej zrozumiała i wygodniejsza do praktycznych zastosowań? :)

KONIEC

Kliknij, aby zobaczyć, jak definicję granicy funkcji zastosować do wykazania trudniejszej granicy (następny wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jaka była definicja Cauchyego granicy funkcji (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 8000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez

Komentarze

  1. Łukasz napisał:

    wziąć* ;)

  2. karloss napisał:

    „opierającej się na otoczeniach punktu definicji Heine’go.”
    A nie przypadkiem Cauchyego?

  3. Ania napisał:

    Granice funkcji Heinego – przykład 3
    „Jeżeli ciąg x_n dąży do 1 powyższa granica nie jest symbolem nieoznaczonym. Z własności ciągów zbieżnych (mnożenie ciągów zbieżnych) wiemy, że: dla dowolnego ciągu x_n dążącego do 1.”
    Dlaczego dąży do 1? Czy tam nie powinno być 2? Przecież naszym xo jest 2, nie wiem skąd tam wzięło się 1..

  4. Celestyn napisał:

    Jesteś genialny, dziękuję. To jest najlepsze wytłumaczenie jakie znalazłem w całym internecie. <3

Skomentuj, zapraszam