Dołącz do ponad 65000 studentów na Akademii eTrapez

Zarejestruj darmowe konto i uzyskaj natychmiastowy dostęp do 16 Lekcji Video.

Poznaj podstawy matematyczne na studiach. Za darmo. We własnym domu.

Zarejestruj darmowe konto na Akademii

Granica niewłaściwa ciągu

 

Granica ciągu Wykład 4

 

Temat: Granica niewłaściwa ciągu

 

Streszczenie

W artykule zdefiniuję, czym są granice niewłaściwe ciągów: +infty i -infty.

Granice niewłaściwe ciągów

Jeżeli chodzi o granice ciągów należy odróżniać od siebie trzy sytuacje:

1. Ciągi zbieżne, mające granice.

Może to być na przykład ciąg:

1,1/4,1/9,1/16,1/25,... – czyli ciąg o wyrazie ogólnym a_n=1/n^2

Jest to ciąg, który ma granicę równą 0. Możemy powiedzieć, że „zbiega do zera”.

2. Ciągi rozbieżne, które nie mają granic.

Może to być na przykład ciąg:

1,-1,1,-1,1,-1,1,...

Ten ciąg nie zbliża się do żadnej liczby. Nie ma granicy w ogóle.

Spośród ciągów rozbieżnych, które nie dążą do żadnej liczby można wyróżnić takie, których kolejne wyrazy są coraz większe (albo odpowiednio: mniejsze) i rozbiegają w nieskończoność (odpowiednio: w minus nieskończoność).

Mogą to być na przykład takie ciągi:

1,2,3,4,5,6,..., czyli a_n=n

-1,-10,-100,-1000,-10000,..., czyli a_n=-1*10^{n-1}

1/3;2/3;1;4/3;5/3;2;..., czyli a_n=n/3

Takie ciągi nazwać możemy:

3. Ciągami rozbieżnymi do +infty (albo do: -infty), możemy też powiedzieć, że ciągi te mają granicę niewłaściwą +infty lub -infty.

Jak formalnie zdefiniować tą granicę niewłaściwą? Będzie to swojego rodzaju definicja nieskończoności – rozumianej jako granica niewłaściwa ciągu.

Zastanówmy się… Kiedy powiedzieć można, że ciąg:

1,2,3,4,5,6,...

…rozbiega do +infty?

Powiemy tak: Ciąg ma granicę niewłaściwą +infty, jeżeli dla dowolnej ustalonej liczby (nawet bardzo, bardzo wielkiej, nawet 100 tryliardów idt.) istnieje taki numer wyrazu ciągu, że wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od niego są już większe od tej liczby. Formalny zapis wyglądał by tak:

Definicja granicy niewłaściwej ciągu w plus nieskończoności

A mniej formalnie powiedzieć można, że ciąg ma granicę niewłaściwą +infty, jeśli dla dowolnie dużej liczby, jaką byśmy mogli wymyśleć, wszystkie wyrazy ciągu począwszy od któregoś i tak są większe od tej liczby.

Co do granic rozbiegających do -infty, sprawa wygląda oczywiście podobnie.

Ciąg ma granicę niewłaściwą -infty, jeśli dla dowolnej ustalonej liczby ujemnej epsilon istnieje taki numer wyrazu ciągu M, dla którego wszystkie wyrazy ciągu o numerach większych od M są już mniejsze od tej liczby epsilon.

Definicja granicy niewłaściwej w minus nieskończonościCzyli: jak bardzo małą liczbę byśmy sobie nie wymyślimy i tak począwszy od pewnego wyrazu wszystkie wyrazy ciągu będą mniejsze od tej liczby.

Kliknij, aby zobaczyć, jak granica ciągu może posłużyć do zdefiniowania granicy funkcji (następny Wykład) –>

Kliknij, aby przypomnieć sobie, czym są wyrażenia nieoznaczone (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o granicach

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej
Nie ma jeszcze komentarzy.

Dodaj komentarz