Granice ciągu z sumą kwadratów lub sumą sześcianów

W granicach ciągów bywa czasami tak:

Granica ciągu z sumą kwadratów w liczniku

 

 

a czasami nawet tak:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+...+n^3}/n^4

 

Co wtedy?

Odpowiedź jest prosta:

wzory na sumę kwadratów i na sumę sześcianów kolejnych liczb naturalnych.

Szły one tak:

1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

Wzory – jak to wzory – do wyuczenia na pamięć. O ile miałeś podobne przykłady i ich rzeczywiście potrzebujesz.

Znając wzorki policzenie naszych granic staje się banalne:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^2+3^2+...+n^2}/n^3={lim}under{n{right}infty}{{n(n+1)(2n+1)}/6}/n^3={lim}under{n{right}infty}{n(n+1)(2n+1)}/{6n^3}=

={lim}under{n{right}infty}{n*n(1+1/n)n(2+1/n)}/{6n^3}=2/6=1/3

Kolejna granica:

{lim}under{n{right}infty}{1+2^3+3^3+...+n^3}/n^4={lim}under{n{right}infty}(n(n+1)/2)^2/n^4={lim}under{n{right}infty}{{n^2}(n+1)^2/4}/n^4=

{lim}under{n{right}infty}{{n^2}{{n^2}(1+1/n)^2}/4}/n^4=1/4

 

Dowody indukcyjne dla wzorów

Prawdziwości wzorów można dosyć łatwo dowieść indukcyjne (przynajmniej jeszcze parenaście lat temu był to zupełny standard w szkole średniej). Zrobię to dla wzoru:

1. 1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

1 Krok indukcyjny

Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

1^2={1(1+1)(2*1+1)}/6

1=1

Zgadza się

2 Krok indukcyjny

Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n:

1^2+2^2+3^2+...+n^2={n(n+1)(2n+1)}/6

3 Krok indukcyjny

Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn:

1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2={(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}/6

Po lewej stronie zamiast 1^2+2^2+3^2+...+n^2 wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu porządkuję:

{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6

I dalej zamiast smarować na siłę działam trochę subtelniej:

{n(n+1)(2n+1)}/6+(n+1)^2={(n+1)(n+2)(2n+3)}/6       /*6

n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2=(n+1)(n+2)(2n+3)      /:(n+1)
n(2n+1)+6(n+1)=(n+2)(2n+3)

2n^2+n+6n+6=2n^2+7n+6

2n^2+7n+6=2n^2+7n+6

Czyli teza wykazana. Wzór wykazany indukcyjnie.

 

Was zapraszam do indukcyjnego wykazania drugiego wzoru, na sumę sześcianów:

1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej