Granica ciągu z dwiema zmiksowanymi sumami ciągów arytmetycznych

Granice ciągu wykorzystują czasami wzory na sumę ciągów arytmetycznego lub geometrycznego. Gorzej jeśli te ciągi podane są w sposób „zmiksowany” w jednej linijce, tak jak tutaj:

Przykład

{lim}under{n{right}{infty}}{4n-1}/{2-1+4-3+6-5+...+2n-(2n-1)}

Warto pogrupować inaczej wyrazy w mianowniku, żeby zauważyć, że właściwie są tam dwa ciągi arytmetyczne:

{lim}under{n{right}{infty}}{4n-1}/{2+4+6+...+2n-1-3-5-...-(2n-1)}

Teraz korzystamy już ze wzorów na sumę:

{lim}under{n{right}{infty}}{4n-1}/{{2+2n}/2{n}+{-1+[~-(2n-1)]}/2{n}}

I dalej już tylko liczymy:

{lim}under{n{right}{infty}}{4n-1}/{(1+n)n+{~-2n}/2{n}}

{lim}under{n{right}{infty}}{4n-1}/{n+n^2-n^2}

{lim}under{n{right}{infty}}{4n-1}/n

{lim}under{n{right}{infty}}{n(4-1/n)}/n=4

Granica ciągu policzona 🙂

Paczka wszystkich Kursów eTrapez

139 zł

Zobacz więcej